Trong không gian Oxyz cho hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (-2; m; 3)\) và \(\overrightarrow{b} = \left(1; -\frac{3}{2}; 3\right)\) thỏa mãn \(|3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = 10\). Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị của tham số \(m\). Khi đó tổng các phần tử của \(S\) bằng bao nhiêu

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi tìm giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện \(|3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = 10\).

1. **Tính \(3\overrightarrow{a}\) và \(2\overrightarrow{b}\):**
\[
\overrightarrow{a} = (-2, m, 3) \quad \Rightarrow \quad 3\overrightarrow{a} = (-6, 3m, 9)
\]
\[
\overrightarrow{b} = \left(1, -\frac{3}{2}, 3\right) \quad \Rightarrow \quad 2\overrightarrow{b} = \left(2, -3, 6\right)
\]

2. **Tính \(3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}\):**
\[
3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (-6, 3m, 9) - (2, -3, 6) = (-6-2, 3m - (-3), 9 - 6) = (-8, 3m + 3, 3)
\]

3. **Tính độ lớn của vectơ:**
\[
|3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-8)^2 + (3m + 3)^2 + 3^2}
\]
\[
= \sqrt{64 + (3m + 3)^2 + 9}
\]
\[
= \sqrt{73 + (3m + 3)^2}
\]

4. **Thiết lập phương trình:**
Theo điều kiện bài toán, ta có:
\[
\sqrt{73 + (3m + 3)^2} = 10
\]

Bình phương hai vế:
\[
73 + (3m + 3)^2 = 100
\]
\[
(3m + 3)^2 = 27
\]

5. **Giải phương trình:**
\[
3m + 3 = \pm\sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}
\]

* Trường hợp 1:
\[
3m + 3 = 3\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad 3m = 3\sqrt{3} - 3 \quad \Rightarrow \quad m = \sqrt{3} - 1
\]

* Trường hợp 2:
\[
3m + 3 = -3\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad 3m = -3\sqrt{3} - 3 \quad \Rightarrow \quad m = -\sqrt{3} - 1
\]

6. **Tập các giá trị của \(m\):**
Tập \(S = \{\sqrt{3} - 1, -\sqrt{3} - 1\}\).

7. **Tính tổng các phần tử của \(S\):**
\[
\text{Tổng} = (\sqrt{3} - 1) + (-\sqrt{3} - 1) = -2
\]

Vậy, tổng các phần tử của \(S\) bằng \(-2\).