Cho trục hai điểm A, B và hai số thực α, β thoả mãn α + β ≠ 0

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng tồn tại điểm I duy nhất thỏa mãn:
\[
\alpha \vec{A} + \beta \vec{B} = \vec{0}
\]

**Giải:**
Bắt đầu từ biểu thức:
\[
\alpha \vec{A} + \beta \vec{B} = \vec{0}
\]

Ta có thể viết lại thành:
\[
\alpha \vec{A} = -\beta \vec{B}
\]

Nếu \(\beta \neq 0\), ta có thể chia cả hai vế cho \(\beta\) (vì \(\beta \neq 0\)), dẫn đến:
\[
\frac{\alpha}{\beta} \vec{A} = -\vec{B}
\]

Từ đó ta có thể tìm điểm \(I\) sao cho:
\[
\vec{I} = \frac{\beta \vec{A}}{\alpha + \beta} + \frac{\alpha \vec{B}}{\alpha + \beta}
\]

Điểm \(I\) sẽ nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm \(A\) và \(B\) và là điểm chia đoạn \(AB\) theo tỉ lệ \(\alpha : \beta\). Do đó, điểm \(I\) là duy nhất và tồn tại nếu \(\alpha + \beta \neq 0\).

### b) Từ đó suy ra với điểm \(M\) bất kỳ, ta luôn có:
\[
\alpha \vec{M_A} + \beta \vec{M_B} = (\alpha + \beta) \vec{M_I}
\]

**Giải:**
Áp dụng tính chất của điểm chia đoạn trên. Gọi:
\[
\vec{M_A} = \vec{M} - \vec{A}, \quad \text{và} \quad \vec{M_B} = \vec{M} - \vec{B}
\]

Thay vào biểu thức:
\[
\alpha(\vec{M} - \vec{A}) + \beta(\vec{M} - \vec{B}) = \alpha \vec{M} - \alpha \vec{A} + \beta \vec{M} - \beta \vec{B}
\]
\[
= (\alpha + \beta)\vec{M} - (\alpha \vec{A} + \beta \vec{B})
\]

Vì \(\alpha \vec{A} + \beta \vec{B} = \vec{0}\), ta có:
\[
= (\alpha + \beta)\vec{M}
\]

Như vậy, từ đó sẽ có:
\[
\alpha \vec{M_A} + \beta \vec{M_B} = (\alpha + \beta) \vec{M}
\]
Điều này chứng minh rằng điểm \(M\) cũng thỏa mãn tính chất tương tự.

Vậy là hoàn thành bài toán!