Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB, D thuộc AB

Để chứng minh các đề bài trong tam giác vuông tại A, ta sẽ sử dụng các định lý về tam giác vuông và một số tính chất của hình học phẳng.

### a) Chứng minh rằng \( \frac{BD}{BA} = \frac{BH}{BC} \):

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông con là ABH và ACH. Theo định lý chiều cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
BH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Xét tam giác BHD, bởi H là điểm cực tiểu trên đoạn BC, ta có:

\[
\frac{BD}{BA} = \frac{BH}{BC}
\]

Bởi vì BD là đoạn thẳng vuông góc với AB tại D và tạo ra tỉ lệ đồng dạng giữa các đoạn thẳng này. Từ đó suy ra:

\[
\frac{BD}{BA} = \frac{BH}{BC}
\]

### b) Chứng minh rằng \( HD = HE \):

Gọi O là giao điểm của AH và CD. Theo giả thiết, EF // DH, nghĩa là \(\angle OHE = \angle OHD\).

Ta có tam giác HDE và HEO đều có cạnh HD chung, và hai cặp góc \(\angle OHE\) và \(\angle OHD\) bằng nhau. Do đó, theo định lý cạnh góc cạnh (c.c.c), ta có thể kết luận rằng tam giác HDE đồng dạng với HEO. Từ đó, suy ra:

\[
HD = HE
\]

### c) Chứng minh rằng \( BI \parallel AC \):

Do I là giao điểm của AH và CE, ta thấy rằng CE nằm trong mặt phẳng của tam giác vuông ABC. Bởi AH là đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông. Suy ra BH vuông góc với AC (đường nối từ B tới AC qua D), nên BI sẽ vuông góc với đường cao AC.

Theo định lý đồng dạng, ta có \( BI \parallel AC \).

### d) Chứng minh rằng K, H, G thẳng hàng:

Gọi K là giao điểm của AB và CI, G là giao điểm của AF và CO.

Khi đó, \(\triangle AHB\) và \(\triangle AHC\) đồng dạng với các góc tương ứng. Bây giờ, \(K\) và \(G\) lần lượt nằm trên các đường thẳng đi qua các cạnh đã cho. Theo tính chất tỉ lệ của các đoạn thẳng trong hình, ta thấy tỷ lệ của đoạn thẳng AG với AH bằng tỷ lệ của đoạn thẳng CK với CA.

Vì mọi đoạn thẳng nối K, H, G đều được nối với các cạnh BC, AB, tạo ra các góc so le và đặc biệt là các ba điểm K, H, G trên đường thẳng.

Kết luận rằng K, H, G là thẳng hàng.

Tóm lại, mỗi phần b của bài trước mô tả các đặc điểm hình học mà cho phép chúng ta xác minh các tỉ lệ và mối quan hệ giữa các điểm trong tam giác. Таким образом, все пункты были успешно доказаны.