Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn đó (M, N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng OA ⊥ MN. Vẽ đường kính NO. Chứng minh rằng MC // AO. Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( OA \perp MN \).

1. **Tính chất của tiếp tuyến:** Tại điểm tiếp xúc, tiếp tuyến vuông góc với bán kính. Do đó, \( OM \perp AM \) và \( ON \perp AN \).
2. **Xét tam giác:** Từ điểm \( O \), vẽ đoạn thẳng \( OM \) và \( ON \). Ta có hai tam giác vuông \( OMA \) và \( ONA \).
3. **Góc:** Từ đó, có \( \angle OMA + \angle OAN = 180^\circ \) và \( OA \) nằm giữa hai đường tiếp tuyến. Vậy \( OA \) vuông góc với \( MN \).

Do đó, \( OA \perp MN \).

### b) Vẽ đường kính \( NO \). Chứng minh rằng \( MC \parallel AO \).

1. **Vẽ đường tròn:** Gọi \( O \) là tâm đường tròn, \( NO \) là đường kính. \( C \) là trung điểm của \( MN \).
2. **Góc trong tam giác:** Trong tam giác \( OMN \), theo định lý về các tiếp tuyến, các góc \( OMC \) và \( OAC \) có cùng độ lớn. Do đó, \( \angle OMC = \angle OAC\).
3. **Tính chất song song:** Khi hai góc này bằng nhau, theo định lý góc so le, suy ra \( MC \parallel AO \).

### c) Tính độ dài các cạnh của tam giác \( AMN \) biết \( OM = 3cm \), \( OA = 5cm \).

1. **Sử dụng định lý Pythagore:** Trong tam giác vuông \( OMA \):
\[
AM^2 = OA^2 - OM^2
\]
Thay vào:
\[
AM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \implies AM = 4cm
\]

2. **Tam giác cân:** Do \( AM = AN \), nên \( AN = 4cm \).

3. **Độ dài cạnh \( MN \):** Để tính \( MN \), sử dụng công thức độ dài giữa hai điểm tiếp xúc:
\[
MN = AM + AN = 4 + 4 = 8cm.
\]

### Kết quả:
- Độ dài các cạnh của tam giác \( AMN \) là:
- \( AM = 4cm \)
- \( AN = 4cm \)
- \( MN = 8cm \)