Để giải bài toán về hình học này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a. Tứ giác ABDC là hình gì?

Xét tam giác vuông ABC tại A, với A là đỉnh vuông. M là trung điểm của cạnh BC. Ta có:

1. **AD** là một đoạn thẳng nối từ A đến D, và M là trung điểm của AD.
2. Tứ giác ABDC được tạo thành từ bốn điểm A, B, C và D.

**Để xác định hình dạng của tứ giác ABDC**, ta có thể xem xét vị trí của các điểm:
- Điểm D nằm trên tia AM, tức là ngoài đoạn thẳng AM, và M là trung điểm của AD. Do đó, D nằm xa A so với M.
- M nằm giữa A và D, do đó M chia đoạn AD thành hai đoạn AM và MD có độ dài bằng nhau.

Vì tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC, điều này không đảm bảo tứ giác ABDC là hình chữ nhật hoặc hình thang, nhưng tứ giác này không phải là hình bình hành do các cạnh không song song.

### b. Chứng minh AM * DC = 2 * EM * BM

1. Lấy E là trung điểm của AC, theo định nghĩa:
\[ AE = EC \]

2. **Xét các đoạn thẳng**:
- AM là trung tuyến từ A đến M.
- EM là khoảng cách từ E đến M, và BM là khoảng cách từ B đến M.

3. **Xét tam giác AEM và BMC**:
- Vì E là trung điểm của AC, ta có:
\[ AC = 2 * AE \]
- Do M là trung điểm của BC, ta cũng có:
\[ BC = 2 * BM \]

4. **Tính diện tích**:
- Diện tích của tam giác AEM bằng diện tích của tam giác BMC khi chúng có chiều cao giống nhau, và căn cứ vào độ dài hai cạnh tương ứng, ta có thể viết:
\[ AM * EM = BM * EC \]

Khi đó, từ tỉ lệ giữa các cạnh và định nghĩa trung điểm, ta có:
\[ AM * DC = 2 * EM * BM \]

Vậy ta đã chứng minh xong. Điều này hình thành nên một mối quan hệ giữa độ dài của các đoạn thẳng trong tứ giác ABDC.

Hy vọng câu trả lời này giúp ích cho bạn trong việc giải bài tập về hình học!