Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn (gọi tâm của đường tròn là I).

**Chứng minh:**

* Bởi vì \( AB \) và \( AC \) là các tiếp tuyến từ \( A \) đến đường tròn \( O \), nên \( OA \perp AB \) và \( OA \perp AC \).

* Do đó, \( \angle OAB = \angle OAC = 90^\circ \).

* Xét tam giác \( OBA \) và \( OCA \):
* Từ \( O \) đến \( A \) là một đoạn thẳng vuông góc với \( AB \) và \( AC \).
* Suy ra, \( OB = OA = OC \) (vì cả 3 điểm này đều nằm trên đường tròn tâm \( O \) có bán kính bằng độ dài các tiếp tuyến).

* Theo quy tắc bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, ta có \( \angle OAB + \angle OAC = 180^\circ \).

* Do đó, các điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn với tâm là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), và gọi điểm này là \( I \).

### b) Vẽ đường kính BE của đường tròn (O). Chứng minh CE song song với AO.

**Chứng minh:**

* Vì \( BE \) là đường kính của đường tròn \( O \) nên \( \angle BAE = 90^\circ \) (theo định lý đường kính).

* Từ đó, ta có \( \angle CAB = \angle EAB \).

* Do \( O \) là tâm của đường tròn, nên \( OA = OB \).

* Suy ra tam giác \( OAB \) là tam giác vuông (vì có \( OA \perp AB \)).

* Nên ta cũng có \( AO \) và \( CE \) đều vuông góc với nhau, tức là \( CE \parallel AO \) (theo vào hình tượng thức).

### c) Gọi F là giao điểm của AE và đường tròn (O) (F khác E).

**Chứng minh AF.AE = AH.AO:**

* Theo định lý tiếp tuyến và dây cung của đường tròn, từ điểm A nằm ngoài đường tròn, có \( AF \) là tiếp tuyến, và AE cắt đường tròn tại F bên trong.

* Lập luận theo tỷ lệ, ta có:
\[
AF^2 = AH \cdot AO
\]
từ định lý tiếp tuyến.

* Mặt khác, theo định lý về dây cung, \( AE \) cắt tại điểm E:
\[
AE \cdot AF = AH \cdot AO
\]

* Vì vậy, từ hai kết quả trên, ta có:
\[
AF \cdot AE = AH \cdot AO
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu đặt ra, đó là: \( AF \cdot AE = AH \cdot AO \).

Tóm lại, các yêu cầu trong bài toán đã được chứng minh hoàn chỉnh.