Để chứng minh rằng \( OE = OH \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và \( O \) là giao điểm của hai đường chéo, ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định các hình học liên quan**:
- Gọi \( AB \) và \( CD \) là hai cạnh song song.
- \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

2. **Sử dụng tính chất hình học của hình thang**:
- Trong hình thang, nếu ta kẻ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy \( AB \) và \( CD \), thì nó sẽ chia các cạnh bên thành các đoạn tỉ lệ.

3. **Tỉ lệ cạnh**:
- Đường thẳng qua \( O \) song song với \( AB \) cắt \( AD \) tại \( E \) và \( BC \) tại \( H \).
- Theo định lý tỉ lệ (hay tỉ lệ đoạn thẳng), ta có:
\[
\frac{AE}{ED} = \frac{BH}{HC}
\]

4. **Sử dụng tỉ lệ để so sánh**:
- Vì \( OE \) và \( OH \) là khoảng cách từ điểm \( O \) đến hai đường thẳng song song \( AB \) và đoạn thẳng nối \( E \) và \( H \), hai đoạn thẳng \( OE \) và \( OH \) sẽ bằng nhau vì hai đường thẳng này song song.
- Các đoạn \( OE \) và \( OH \) được tạo thành bởi các cặp đoạn tỉ lệ trong hai tam giác đồng dạng (do có hai đường thẳng song song), nên \( OE \) và \( OH \) là hai đoạn thẳng cùng chiều cao từ \( O \) đến \( AE \) và \( BH \).

5. **Kết luận**:
- Do đó, ta có \( OE = OH \).

Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu trong bài toán.