Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[ x + xy - y = 8 \]

Ta có thể biến đổi phương trình này một chút:

\[ x + xy - y = 8 \]

Chuyển y sang bên trái:

\[ xy - y = 8 - x \]

Tách yếu tố y ra ngoài:

\[ y(x - 1) = 8 - x \]

Sau đó, ta có thể biểu diễn \( y \):

\[ y = \frac{8 - x}{x - 1} \]

Để \( y \) là một số nguyên, \( 8 - x \) phải chia hết cho \( x - 1 \). Điều này có thể được diễn đạt bằng một số điều kiện cho \( x \).

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( x \):

1. Nếu \( x = 2 \):

\[ y = \frac{8 - 2}{2 - 1} = \frac{6}{1} = 6 \]

Vậy có nghiệm \( (x, y) = (2, 6) \).

2. Nếu \( x = 3 \):

\[ y = \frac{8 - 3}{3 - 1} = \frac{5}{2} \] (không phải là số nguyên)

3. Nếu \( x = 4 \):

\[ y = \frac{8 - 4}{4 - 1} = \frac{4}{3} \] (không phải là số nguyên)

4. Nếu \( x = 5 \):

\[ y = \frac{8 - 5}{5 - 1} = \frac{3}{4} \] (không phải là số nguyên)

5. Nếu \( x = 6 \):

\[ y = \frac{8 - 6}{6 - 1} = \frac{2}{5} \] (không phải là số nguyên)

6. Nếu \( x = 7 \):

\[ y = \frac{8 - 7}{7 - 1} = \frac{1}{6} \] (không phải là số nguyên)

7. Nếu \( x = 8 \):

\[ y = \frac{8 - 8}{8 - 1} = 0 \]

Vậy có nghiệm \( (x, y) = (8, 0) \).

8. Nếu \( x = 9 \):

\[ y = \frac{8 - 9}{9 - 1} = \frac{-1}{8} \] (không phải là số nguyên)

9. Nếu \( x = 10 \):

\[ y = \frac{8 - 10}{10 - 1} = \frac{-2}{9} \] (không phải là số nguyên)

Thực hiện tương tự cho các giá trị âm của \( x \):

1. Nếu \( x = 0 \):

\[ y = \frac{8 - 0}{0 - 1} = -8 \]

Vậy có nghiệm \( (x, y) = (0, -8) \).

2. Nếu \( x = -1 \):

\[ y = \frac{8 - (-1)}{-1 - 1} = \frac{9}{-2} \] (không phải là số nguyên)

3. Nếu \( x = -2 \):

\[ y = \frac{8 - (-2)}{-2 - 1} = \frac{10}{-3} \] (không phải là số nguyên)

4. Nếu \( x = -3 \):

\[ y = \frac{8 - (-3)}{-3 - 1} = \frac{11}{-4} \] (không phải là số nguyên)

5. Nếu \( x = -4 \):

\[ y = \frac{8 - (-4)}{-4 - 1} = \frac{12}{-5} \] (không phải là số nguyên)

...

Cuối cùng, sau khi kiểm tra các giá trị khác nhau, các nghiệm nguyên của phương trình là:

1. \( (x, y) = (2, 6) \)
2. \( (x, y) = (8, 0) \)
3. \( (x, y) = (0, -8) \)

Tóm lại, nghiệm nguyên của phương trình là:
- \( (2, 6) \)
- \( (8, 0) \)
- \( (0, -8) \)