Tìm các số nguyên x và y biết \((x-2)(xy-1)=5\)

Để tìm các số nguyên \(x\) và \(y\) thỏa mãn phương trình \((x-2)(xy-1)=5\), ta sẽ phân tích các giá trị của \(5\).

Các cặp số nguyên có tích bằng \(5\) là:
1. \( (1, 5) \)
2. \( (5, 1) \)
3. \( (-1, -5) \)
4. \( (-5, -1) \)
5. \( (1, -5) \)
6. \( (-1, 5) \)

Ta sẽ xem xét từng trường hợp này và giải cho \(x\) và \(y\).

### Trường hợp 1: \(x - 2 = 1\) và \(xy - 1 = 5\)
- Từ \(x - 2 = 1\) ⇒ \(x = 3\)
- Thay vào \(xy - 1 = 5\):
\[
3y - 1 = 5 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2
\]
→ Giải pháp: \((x, y) = (3, 2)\)

### Trường hợp 2: \(x - 2 = 5\) và \(xy - 1 = 1\)
- Từ \(x - 2 = 5\) ⇒ \(x = 7\)
- Thay vào \(xy - 1 = 1\):
\[
7y - 1 = 1 \Rightarrow 7y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{7} \quad \text{(không phải là số nguyên)}
\]
→ Không có giải pháp.

### Trường hợp 3: \(x - 2 = -1\) và \(xy - 1 = -5\)
- Từ \(x - 2 = -1\) ⇒ \(x = 1\)
- Thay vào \(xy - 1 = -5\):
\[
1y - 1 = -5 \Rightarrow y - 1 = -5 \Rightarrow y = -4
\]
→ Giải pháp: \((x, y) = (1, -4)\)

### Trường hợp 4: \(x - 2 = -5\) và \(xy - 1 = -1\)
- Từ \(x - 2 = -5\) ⇒ \(x = -3\)
- Thay vào \(xy - 1 = -1\):
\[
-3y - 1 = -1 \Rightarrow -3y = 0 \Rightarrow y = 0
\]
→ Giải pháp: \((x, y) = (-3, 0)\)

### Trường hợp 5: \(x - 2 = 1\) và \(xy - 1 = -5\)
- Từ \(x - 2 = 1\) ⇒ \(x = 3\)
- Thay vào \(xy - 1 = -5\):
\[
3y - 1 = -5 \Rightarrow 3y = -4 \Rightarrow y = -\frac{4}{3} \quad \text{(không phải là số nguyên)}
\]
→ Không có giải pháp.

### Trường hợp 6: \(x - 2 = -1\) và \(xy - 1 = 5\)
- Từ \(x - 2 = -1\) ⇒ \(x = 1\)
- Thay vào \(xy - 1 = 5\):
\[
1y - 1 = 5 \Rightarrow y - 1 = 5 \Rightarrow y = 6
\]
→ Giải pháp: \((x, y) = (1, 6)\)

### Kết luận
Các cặp số nguyên \((x, y)\) thoả mãn phương trình \((x-2)(xy-1)=5\) là:
- \((3, 2)\)
- \((1, -4)\)
- \((-3, 0)\)
- \((1, 6)\)