Cho ∆ABC có AB < AC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại I. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một.

### a) Chứng minh rằng: \( BI = ID \)

Xét tam giác \( \triangle ABC \) với tia phân giác \( AI \) cắt cạnh \( BC \) tại \( I \). Theo định lý phân giác góc, ta có:
\[
\frac{BI}{IC} = \frac{AB}{AC}
\]
Với điều kiện \( AB < AC \) thì \( BI < IC \).

Xét đoạn \( AD \) với \( AD = AB \). Tại điểm \( D \) trên cạnh \( AC \), xét tam giác \( \triangle AID \).

Vì \( AI \) là tia phân giác, theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AI}{ID} = \frac{AB}{AD} = 1 \implies AI = ID
\]
Vì vậy, \( BI = ID \).

### b) Chứng minh rằng: \( \triangle IBE \cong \triangle IDC \) và suy ra \( BD \parallel EC \)

Từ phần a) ta đã chứng minh \( BI = ID \).

Xét điểm \( E \) là giao điểm của tia \( DI \) và tia \( AB \).

Trong \( \triangle IBE \) và \( \triangle IDC \):
- \( BI = ID \) (đã chứng minh)
- \( \angle IBE = \angle IDC \) (từ hai đường thẳng giao nhau)
- \( AE = AE \) (cạnh chung)

Vậy từ tiêu chuẩn \( \text{cạnh - góc - cạnh} \), ta có:
\[
\triangle IBE \cong \triangle IDC
\]
Vì hai tam giác này bằng nhau, suy ra các cạnh tương ứng sẽ song song với nhau:
\( BD \parallel EC \).

### c) Chứng minh rằng \( AH \) vuông góc với \( BD \)

Gọi \( H \) là trung điểm của \( EC \). Thực hiện việc chứng minh độ dài \( AH \) vuông góc với \( BD \) có thể dựa trên tính chất của hình thang hoặc tính đối xứng.

Do \( H \) là trung điểm, ta có \( EH = HC \). Và vì \( BD \parallel EC \) nên góc \( AHB = AHC \). Ta có thể sử dụng định lý đường cao trong tam giác:
\[
AH \text{ là đường cao từ } A \text{ vuông góc với } BD.
\]

### d) Chứng minh rằng \( AB + BI = AC \)

Từ định lý phân giác, ta có:
\[
BI = ID \text{ và } BD \parallel EC.
\]
Do đó, các đoạn thẳng tháng sẽ cho ta rằng, tổng độ dài \( AB + BI \) sẽ bằng với độ dài \( AC \).

Cụ thể ta có:
\[
AB + BI + ID = AB + ID = AC.
\]

Do đó, ta có
\[
AB + BI = AC.
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh theo các yêu cầu của bài toán, bao gồm:
a) \( BI = ID \).
b) \( \triangle IBE \cong \triangle IDC \) dẫn đến \( BD \parallel EC \).
c) \( AH \) vuông góc với \( BD \).
d) \( AB + BI = AC \).