Để tìm \( n \) sao cho \( 18n + 3 \) và \( 21n + 7 \) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần xem xét điều kiện mà hai số này không có ước số chung nào khác ngoài 1.

Trước hết, ta sẽ tính \( d = \gcd(18n + 3, 21n + 7) \) và áp dụng định lý Euclid về gcd.

Ta có:
\[
a = 18n + 3
\]
\[
b = 21n + 7
\]

Xét \( b - \frac{21}{18}a \):
\[
b - \frac{21}{18}a = (21n + 7) - \frac{21}{18}(18n + 3) = 21n + 7 - (21n + \frac{21}{18} \times 3)
\]
\[
= 7 - \frac{63}{18} = 7 - \frac{7}{2} = 7 - 3.5 = 3.5
\]

Vì vậy, \( \gcd(18n + 3, 21n + 7) = \gcd(18n + 3, 3.5) \).

Để tính toán thuận lợi hơn, ta xem xét \( 18n + 3 \) và \( 21n + 7 \).

Chúng ta có thể thử các giá trị nguyên của \( n \) để xem có thể tìm ra \( n \) nào để \( 18n + 3 \) và \( 21n + 7 \) là nguyên tố cùng nhau.

### Thử với một số giá trị của \( n \):

1. **Khi \( n = 0 \)**:
- \( a = 18(0) + 3 = 3 \)
- \( b = 21(0) + 7 = 7 \)
- \( \gcd(3, 7) = 1 \)

2. **Khi \( n = 1 \)**:
- \( a = 18(1) + 3 = 21 \)
- \( b = 21(1) + 7 = 28 \)
- \( \gcd(21, 28) = 7 \)

3. **Khi \( n = 2 \)**:
- \( a = 18(2) + 3 = 39 \)
- \( b = 21(2) + 7 = 49 \)
- \( \gcd(39, 49) = 1 \)

4. **Khi \( n = 3 \)**:
- \( a = 18(3) + 3 = 57 \)
- \( b = 21(3) + 7 = 70 \)
- \( \gcd(57, 70) = 1 \)

Từ các giá trị thử trên, ta thấy \( n = 0 \), \( n = 2 \), và \( n = 3 \) dẫn đến \( \gcd \) bằng 1. Như vậy, các giá trị \( n = 0\), \( n = 2\), và \( n = 3\) là những giá trị thỏa mãn điều kiện.

Vậy, để \( 18n + 3 \) và \( 21n + 7 \) là nguyên tố cùng nhau, ta có thể chọn \( n = 0 \), \( n = 2 \) hoặc \( n = 3 \).