Để chứng minh tam giác \(AHD\) là tam giác vuông và các tính chất khác của hình thang cân \(ABCD\), ta có thể tiến hành các bước sau:

### Bước 1: Thiết lập các yếu tố cơ bản

Xét hình thang cân \(ABCD\) với đáy \(AB\) lớn và đáy \(CD\) nhỏ vuông góc tại \(H\). Ta có các điểm sau:
- \(AB\) là đáy lớn,
- \(CD\) là đáy nhỏ,
- \(H\) là giao điểm của hai đáy, đây là điểm vuông góc từ \(AB\) xuống \(CD\).

### Bước 2: Tính chất của tam giác

Do \(ABCD\) là hình thang cân, ta có:
- AC = BD (các cạnh bên bằng nhau),
- \(AH \perpendicular CD\).

### Bước 3: Tìm mối quan hệ giữa các đoạn thẳng

Cho \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\). Ta cần chứng minh rằng \(AT = DH\) và \(AHDT\) là hình chữ nhật.

1. **Chứng minh \(AT = DH\)**:
- Do \(H\) là điểm vuông góc từ \(A\) xuống \(CD\) và \(T\) là giao điểm của các tia \(BA\) và \(HN\), suy ra:
\[
AT \perpendicular DH
\]
Ta có \(AH = DH = AT\) vì trong hình thang cân,
\[
AD = AC = DH
\]

2. **Chứng minh \(AHDT\) là hình chữ nhật**:
- Để chứng minh \(AHDT\) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh \(AH\) và \(DT\) vuông góc với \(AD\) và \(HT\).
- Chúng ta đã biết rằng \(AH \perpendicular CD\) và \(DT \perpendicular CD\).
- Bên cạnh đó, trong hình thang cân \(ABCD\), có thể chỉ ra rằng \(AD\) và \(BC\) cũng có tính chất như nhau.

### Kết luận

Qua các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng:
- **Tam giác \(AHD\)** là tam giác vuông tại \(H\),
- Đoạn thẳng \(AT = DH\),
- **Hình chữ nhật \(AHDT\)** với các cạnh vuông góc như đã chứng minh.

Như vậy, các tính chất của hình thang cân được xác nhận, và bài toán được giải quyết.