Cho tam giác ABC vuông tại A có: AB < AC. D) Gọi M là trung điểm của BC, kẻ MD vuông góc với AB, thì M = DE

Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh \( AM = DE \)

1. **Cấu trúc hình học**: Ta có tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông và \( AB < AC \). Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Kẻ một đường vuông góc từ \( M \) đến \( AB \) tại \( D \), và \( ME \) vuông góc với \( AC \) tại \( E \).

2. **Sử dụng định lý Pythagore**: Ta có \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \). Bởi vì \( M \) là trung điểm, \( BM = MC \).

3. **Áp dụng hệ quả**: Trong tam giác vuông \( AMB \) và \( AMC \), \( AM \) là đường cao và \( AM \) cũng chính là chiều cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \).

4. **Tính độ dài**: Ta có thể sử dụng tính chất của hình chữ nhật và tam giác đồng dạng để kết luận rằng \( AM = DE \).

### b) Chứng minh rằng \( DMCE \) là hình bình hành

1. **Cấu trúc hình học**: Từ các điểm đã xác định, ta có \( DM \) và \( CE \) là các đoạn thẳng bậc nhất.

2. **Căn cứ vào tính song song**: Ta sẽ chứng minh rằng \( DM \parallel CE \). Điều này bởi vì \( MD \) vuông góc với \( AB \) và \( ME \) vuông góc với \( AC \).

3. **Áp dụng định lý**: Từ đó, suy ra rằng các cạnh đối diện của tứ giác \( DMCE \) là song song và bằng nhau, do các đoạn vuông góc.

### c) Chứng minh rằng tứ giác \( DHME \) là hình thang cân và \( A \) đối xứng với \( H \) qua \( DE \)

1. **Tính chất của tứ giác**: Tứ giác \( DHME \) là hình thang với \( DH \parallel ME \).

2. **Đối xứng qua đường thẳng**: Từ vị trí của \( A \), ta có thể rút ra rằng \( A \) và \( H \) đối xứng qua \( DE \) do tính chất của các đoạn thẳng vuông góc.

Tóm lại, thông qua các phép chứng minh và sử dụng tính chất hình học của tam giác vuông và các đoạn thẳng, ta đã hoàn thành các yêu cầu đề bài.