Chúng ta sẽ giải bài toán với các thông tin đã cho.

### Dữ kiện:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- \( AB < AC \).
- \( BC = 12 \) cm.
- D là trung điểm của cạnh BC.
- E là trung điểm của cạnh AC.
- F là điểm trên tia đối của DE sao cho D là trung điểm của EF.

### a) Tính độ dài AD:
Giả sử:
- \( AB = a \)
- \( AC = b \)

Sử dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 \Rightarrow 12 = \sqrt{a^2 + b^2}} \Rightarrow 144 = a^2 + b^2
\]

Tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(0, b)

Trong đó:
- D là trung điểm của BC \( D = \left(\frac{a + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \)
- E là trung điểm của AC \( E = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(0, \frac{b}{2}\right) \)

Để tính AD, chúng ta có:
\[
AD = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}
\]

Thay \( a^2 + b^2 = 144 \):
\[
AD = \frac{1}{2}\sqrt{144} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh tứ giác BFCE là hình bình hành:
Ta cần chứng minh:
\[
BF \parallel CE \quad \text{và} \quad BE \parallel CF
\]

**Tính độ dài BE và CE**:
- \( BE = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - \frac{b}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{b^2}{4}} \)
- \( CE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (b - \frac{b}{2})^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{b}{2} \)

Do \( D \) là trung điểm của \( EF \), điểm \( F \) là hình chiếu của \( E \) ở bên đối của \( DE \), từ đó suy ra:
- BF = CE và BE = CF (các cặp cạnh đối bằng nhau)

Do đó, tứ giác BFCE là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác BFEA là hình chữ nhật:
Để chứng minh tứ giác BFEA là hình chữ nhật, ta cần chứng minh:
\[
BE \perp AE \quad \text{và} \quad BF \perp AF
\]

Bây giờ tính độ dài AE:
\[
AE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - \frac{b}{2})^2} = \frac{b}{2}
\]

Kiểm tra điều kiện vuông góc:
- \( BE \) vuông góc với \( AE \) (vì 1 cạnh là đường thẳng ngang và 1 cạnh là đường thẳng đứng),

Kết hợp với việc \( BF \perp AF \) (do F nằm trên tia đối với E theo điều kiện bài toán), từ đó kết luận ta có các góc 90 độ.

Vậy tứ giác BFEA là hình chữ nhật.

### Kết luận:
- a) Độ dài AD là 6 cm.
- b) Tứ giác BFCE là hình bình hành.
- c) Tứ giác BFEA là hình chữ nhật.