Chúng ta sẽ giải từng bài toán như sau:

### Bài 1:
Tìm giá trị nguyên của biểu thức \( A = \frac{-2x + 1}{3x} \) với điều kiện \( x \neq 1 \).

Bước đầu tiên là trình bày lại biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{-2x + 1}{3x} = \frac{1}{3x} - \frac{2}{3}
\]

Để \( A \) là số nguyên, \( \frac{1}{3x} \) cũng phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( 3x \) là ước số của 1, tức là:
\[
3x = \pm 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \text{ hoặc } x = -\frac{1}{3}
\]
Tuy nhiên, đôi giá trị này đều không phải là số nguyên. Vì vậy, không có giá trị nào thỏa mãn được.

### Bài 2:
Tìm \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:
\[
|x-3|^{106} + (y-3x)^{108} = 0
\]

Phân tích phương trình:
- Vì các lũy thừa với số chẵn sẽ luôn không âm, cả \( |x-3|^{106} \) và \( (y-3x)^{108} \) đều không âm.
- Để tổng của chúng bằng 0, cả hai đại lượng phải bằng 0.
1. Từ \( |x-3|^{106} = 0 \) ta có:
\[
|x-3| = 0 \Rightarrow x = 3
\]
2. Từ \( (y-3x)^{108} = 0 \) ta có:
\[
y - 3x = 0 \Rightarrow y = 3x
\]

Khi \( x = 3 \):
\[
y = 3 \cdot 3 = 9
\]

Vậy, \( (x, y) = (3, 9) \).

### Bài 3:
Tìm số tự nhiên \( x \) để biểu thức \( B = \frac{10x - 3}{4x - 10} \) đạt giá trị lớn và tìm giá trị lớn nhất.

Trước tiên, xác định điều kiện xác định của biểu thức:
\[
4x - 10 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{10}{4} = 2.5
\]

Tuy nhiên, \( x \) lại phải là số tự nhiên, do đó \( x \) không thể bằng 2.5. Ta cần xét giá trị của \( B \):
\[
B = \frac{10x - 3}{4x - 10}
\]

Giá trị lớn nhất sẽ xảy ra khi tử số lớn nhất so với mẫu số. Ta sẽ tìm giá trị B khi \( x = 1, 2, 3, 4, \ldots \) để xem giá trị nào là lớn nhất.

- Với \( x = 1 \):
\[
B = \frac{10 \cdot 1 - 3}{4 \cdot 1 - 10} = \frac{7}{-6} = -\frac{7}{6}
\]

- Với \( x = 2 \):
\[
B = \frac{10 \cdot 2 - 3}{4 \cdot 2 - 10} = \frac{17}{-2} = -\frac{17}{2}
\]

- Với \( x = 3 \):
\[
B = \frac{10 \cdot 3 - 3}{4 \cdot 3 - 10} = \frac{27}{2} = \frac{27}{2} = 13.5
\]

- Với \( x = 4 \):
\[
B = \frac{10 \cdot 4 - 3}{4 \cdot 4 - 10} = \frac{37}{6} \approx 6.17
\]

- Với \( x = 5 \):
\[
B = \frac{10 \cdot 5 - 3}{4 \cdot 5 - 10} = \frac{47}{10} = 4.7
\]

Giá trị \( B \) đạt giá trị lớn nhất khi \( x = 3 \) với giá trị lớn nhất:
\[
B = 13.5
\]

Tóm lại, ta có các kết quả:
1. Bài 1: Không có giá trị nguyên
2. Bài 2: \( (x, y) = (3, 9) \)
3. Bài 3: Giá trị lớn nhất là \( 13.5 \) tại \( x = 3 \).