Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sử dụng tính chất của tam giác cân và các định nghĩa hình học cơ bản.

### a) Chứng minh tam giác APB = tam giác APC

* Giả thiết: Tam giác ABC là tam giác cân tại A, tức là AB = AC và P là trung điểm của cạnh BC.
* Chứng minh:

1. **Cạnh chung**: Do P là trung điểm của BC nên BP = PC.
2. **Cạnh**: Theo giả thiết, AB = AC.
3. **Góc**: Ở hai tam giác APB và APC, góc A là chung (góc A).

Vậy, theo tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CCG), ta có:
\[
AB = AC \\
BP = PC \\
\angle APB = \angle APC
\]
Do đó, tam giác APB bằng tam giác APC:
\[
\triangle APB \cong \triangle APC
\]

### b) Từ P kẻ PD vuông góc với AB (D thuộc AB), PE vuông AC (E thuộc AC). Chứng minh DA = EA.

* Giả thiết: Ta có tam giác APB và APB = APC trong đó P là trung điểm BC.
* Chứng minh:

1. **Các đoạn thẳng vuông góc**:
- PD vuông góc với AB.
- PE vuông góc với AC.

2. **Góc vuông**: Bởi vì PD vuông góc với AB nên có góc APD = 90 độ và PE vuông góc với AC nên góc APE = 90 độ.

3. **Hai tam giác**: Xét hai tam giác PAD và PAE:
- Khi đó, PD = PE = độ cao từ P đến các cạnh.
- Góc APD = góc APE = 90 độ (góc vuông).
- Miễn là PA là cạnh chung.

Do đó, theo tiêu chí góc - cạnh - góc (GCG), ta có:
\[
\triangle PAD \cong \triangle PAE
\]
Vì vậy, DA = EA (theo tính chất của tam giác đồng dạng).

### c) Chứng minh DE || BC

* Giả thiết: DE là đoạn thẳng nối hai điểm D và E như đã nói ở phần b.
* Chứng minh:

1. **Góc so le trong**: Bởi vì PD vuông góc với AB và PE vuông góc với AC, nên:
- Góc BPD bằng góc DPE.
- Góc CPE bằng góc APD.

2. Với hai góc này bằng nhau, và P thuộc DE, ta có DE cắt BC tạo thành các góc so le trong (bằng nhau).

Nên theo định lý góc so le trong, ta suy ra rằng:
\[
DE \parallel BC
\]

Vậy, ta đã hoàn thành tất cả các phần yêu cầu trong bài toán.