Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách cụ thể.

### a) Chứng minh rằng \( \triangle ABHA \cong \triangle ABDH \) và tia BC là tia phân giác của góc \( ABD \).

1. **Giả sử** \( AB = c \) và \( AC = b \) với \( A \) là đỉnh vuông.
2. **Tia AH** vuông góc với \( BC \) nên \( AH \perp BC \).
3. **Gọi** \( D \) là điểm trên tia đối của tia \( HA \) sao cho \( HD = HA \). Do đó, \( AH = HD \).
4. **Xét** \( \triangle ABHA \) và \( \triangle ABDH \):
- Có \( AB = AB \) (chung cạnh).
- Có \( AH = HD \) (theo điều kiện của bài toán).
- Có góc \( AHB = ADB = 90^\circ \) (cả hai đều vuông).

=> Suy ra \( \triangle ABHA \cong \triangle ABDH \) theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (c.g.c).

5. Vì hai tam giác này bằng nhau, nên \( \angle ABH = \angle ABD \). Do đó, tia \( BC \) là tia phân giác của góc \( ABD \).

### b) Qua \( D \) vẽ đường thẳng song song với \( AB \), cắt \( BC \) tại \( M \) và cắt \( AC \) tại \( K \). Chứng minh rằng \( AD \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BM \).

1. **Vẽ** đường thẳng \( DM \) song song với \( AB \).
2. **Ta có**: \( DM \parallel AB \) nên:
- Tam giác \( ADK \) và \( ABM \) đồng dạng (tương tự).
3. **Chú ý rằng**: \( AD \) cắt \( BM \) tại điểm giữa do tính chất của đường trung trực.
4. => Nghĩa là đoạn \( AD \) là trung trực của đoạn thẳng \( BM \).

### c) Vẽ đường thẳng \( CN \) vuông góc với đường thẳng \( AM \) (N thuộc \( AM \)). Chứng minh ba điểm \( C, N, D \) thẳng hàng.

1. **Vẽ** đường thẳng \( CN \perp AM \) và gọi điểm giao nhau là \( N \).
2. **Xét các góc**:
- \( \angle AMN = 90^\circ \)
- Do đó \( \triangle ADN \) là tam giác vuông tại \( N \).
3. **Khi \( D \) nằm trên đường thẳng \( BC \) và đã được chứng minh a và b**, nó cho thấy \( D \) nằm trên đường thẳng kéo dài từ \( C \) qua \( N \).

=> Kết luận rằng ba điểm \( C, N, D \) là thẳng hàng.

---

Tóm lại, với từng yêu cầu, bằng việc sử dụng các tính chất của tam giác và định lý, ta có thể chứng minh được các yêu cầu trong bài toán.