Để chứng minh bốn điểm \( A, E, H, D \) nằm trên một đường tròn, ta có thể sử dụng định lý về góc nội tiếp.

**a)** Ta có các yếu tố sau:

1. \( O \) là tâm của đường tròn với đường kính \( BC \).
2. Tia \( AE \) cắt đường tròn tại \( E \) và tia \( AD \) cắt đường tròn tại \( D \).
3. \( CE \) cắt \( AB \) và \( AC \) tại \( H \).

Từ đó, ta áp dụng định lý góc nội tiếp:

- Góc \( AHE = \angle ABE \)
- Góc \( AHD = \angle ACD \)

Cả hai góc này đều là góc nội tiếp cùng chắn cung \( AE \) và \( AD \), do đó:

\[
\angle AHE = \angle ABE \quad \text{và} \quad \angle AHD = \angle ACD
\]

Do vậy, ta có:

\[
\angle AHE + \angle AHD = \angle ABE + \angle ACD
\]

Suy ra, điểm \( A, E, H, D \) nằm trên một đường tròn.

Để xác định tâm \( I \) của đường tròn đó, ta sẽ dùng trung điểm của đoạn thẳng \( EH \) và một điểm trên đường tròn (có thể là một trong các điểm \( A, E, H, D \)), gọi là \( I \).

**b)** Gọi \( F \) là giao điểm của \( AH \) và \( BC \).

Chứng minh rằng \( AH \perp BC \) và \( FA \cdot FH = FB \cdot FC \):

- Vì \( AH \) là đường thẳng đi qua \( A \) và cắt \( BC \) tại \( F \), do đó, theo các định lý liên quan đến tiếp tuyến và secant trong đường tròn, ta có:

\[
FA \cdot FH = FB \cdot FC
\]

Vì vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.