Đồ thị hàm số \( y = \frac{1}{f(x)-1} \) có a đường tiệm cận đứng và b đường tiệm cận ngang. Tính \( a^2 + b^2 \)

Để xác định số lượng đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{1}{f(x)-1} \), ta cần xem xét hàm số \( f(x) \) trong bảng biến thiên.

### Phân tích hàm số \( f(x) \)

Dựa trên bảng biến thiên:
- Tại \( x = -2 \), hàm số \( f(x) \) có giá trị từ \( +\infty \) đến \( 0 \), và sau đó từ \( 0 \) đến \( -\infty \) khi \( x \) lớn hơn \( -2 \).
- Điều này cho thấy \( f(x) = 1 \) có thể xảy ra tại một số điểm trong miền đó.

### Tìm tiệm cận đứng

1. **Tiệm cận đứng**:
- Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số \( f(x) - 1 = 0 \).
- Với bảng biến thiên, \( f(x) \) giao với 1 tại một số giá trị trong miền. Chúng ta cần xác định số điểm mà \( f(x) = 1 \) trong miền này.
- Nhìn vào bảng, hàm \( f(x) \) chuyển từ \( +\infty \) xuống \( 0 \) và sau đó vào \( -\infty \) cho thấy có ít nhất một giá trị \( x \) tại đó \( f(x) = 1 \).

**Kết luận**: Có 1 tiệm cận đứng \( a = 1 \).

### Tìm tiệm cận ngang

2. **Tiệm cận ngang**:
- Để tìm tiệm cận ngang, ta xem xét giới hạn của \( y \) khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) và \( -\infty \):
- \( \lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{f(x) - 1} = \frac{1}{-\infty} = 0 \) (do \( f(x) \) tiến tới giá trị âm vô hạn).
- \( \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{f(x) - 1} = \frac{1}{+\infty} = 0 \) (do \( f(x) \) tiến tới giá trị dương vô hạn).

**Kết luận**: Có 1 tiệm cận ngang \( b = 1 \).

### Tính toán

Cuối cùng, tính giá trị \( a^2 + b^2 \):
\[
a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2
\]

### Kết quả

Vậy, giá trị \( a^2 + b^2 \) là \( \boxed{2} \).