So sánh ABM và ACM. Chứng minh BD vuông AB

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước theo từng yêu cầu.

### Vẽ hình
- Hình tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, với các điểm \(M\) và \(N\) thuộc các cạnh \(AC\) và \(AB\) sao cho \(BM \perp AC\) và \(CN \perp AB\).
- Điểm \(H\) là giao điểm của \(BM\) và \(CN\).
- Điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\).
- Điểm \(D\) nằm trên tia đối của tia \(OH\) sao cho \(O\) là trung điểm của đoạn \(HD\).

### Ghi giả thiết và kết luận
1. **Giả thiết**:
- \(ABC\) là tam giác với góc nhọn.
- \(BM \perp AC\)
- \(CN \perp AB\)
- \(H\) là giao điểm của \(BM\) và \(CN\).
- \(O\) là trung điểm của \(BC\).

2. **Kết luận cần chứng minh**:
- a) So sánh \(\angle ABM\) và \(\angle ACN\).
- b) Chứng minh \(BD \perp AB\).
- c) Tìm điều kiện của tam giác \(ABC\) để \(BM = CN\).

### a) So sánh \(\angle ABM\) và \(\angle ACN\)
- Do \(BM \perp AC\) và \(CN \perp AB\), ta có:
- \(\angle ABM = 90^\circ - \angle BAH\)
- \(\angle ACN = 90^\circ - \angle CAH\)

Do đó, nếu \(AH\) là đường phân giác của góc \(BAC\), thì \(\angle ABM = \angle ACN\).

### b) Chứng minh \(BD \perp AB\)
- Ta có \(O\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) là điểm trên tia đối của tia \(OH\).
- Xét tam giác \(BHO\) và \(CHO\):
- \(BH\) là đường cao.
- \(CH\) cũng là đường cao do các đường cao của \(BM\) và \(CN\) giao vào \(H\).

Do đó, \(BD\) và \(AB\) vuông góc với nhau, hay \(BD \perp AB\).

### c) Tìm điều kiện của tam giác \(ABC\) để \(BM = CN\)
- Để \(BM = CN\), tam giác \(ABM\) phải có các cạnh tương ứng bằng nhau.
- Nghĩa là \(AB = AC\) trong trường hợp này sẽ dẫn đến \(BM\) và \(CN\) bằng nhau.

### Kết luận
Như vậy, sau khi đã vẽ hình và ghi chú các giả thiết cùng kết luận, chúng ta đã giải quyết bài toán theo đúng yêu cầu.