Tìm hai số tự nhiên, biết tổng 2 số đó là 1234 và ở giữa chúng có 5 số chẵn 5 số lẻ

Gọi hai số tự nhiên là \( x \) và \( y \) với \( x < y \). Theo điều kiện, ta có:

1. \( x + y = 1234 \)

Giả sử giữa \( x \) và \( y \) có 5 số chẵn và 5 số lẻ. Vậy, tổng cộng số lượng số giữa \( x \) và \( y \) là \( 5 + 5 = 10 \), nghĩa là \( y - x - 1 = 10 \) (số lượng số ở giữa bằng khoảng cách giữa hai số trừ đi 1). Từ đó ta có:

\[
y - x = 11
\]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = 1234 \\
y - x = 11
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này. Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
y = x + 11
\]

Thay vào phương trình đầu tiên:

\[
x + (x + 11) = 1234
\]

\[
2x + 11 = 1234
\]

\[
2x = 1234 - 11
\]

\[
2x = 1223
\]

\[
x = \frac{1223}{2} = 611.5
\]

Vì \( x \) phải là một số tự nhiên, nên \( x = 611 \) không thỏa mãn điều kiện, do đó ta làm như sau:

Tuy nhiên, một phương pháp khác là, nếu \( x \) là một số lẻ thì \( y \) sẽ là một số chẵn, và ngược lại. Để có 5 số lẻ và 5 số chẵn giữa hai số này, \( x \) và \( y \) phải có một trong số chúng là số chẵn, một số lẻ, và tổng phải là 1234.

Giả sử \( x \) là số chẵn và \( y \) là số lẻ. Ta thử hợp lý hóa như sau:

Bước 1: Biết rằng \( x + y = 1234 \)

Bước 2: Số chẵn (gọi là 2k) và số lẻ (gọi là 2k + 1).

Thay \( x = 2k \) vào phương trình:

\[
2k + (2k + 1) = 1234
\]

Tìm số nguyên \( k \):

\[
4k + 1 = 1234 \Rightarrow 4k = 1233 \Rightarrow k = \frac{1233}{4} = 308.25
\]

Vì không có số nguyên, nên \( x \) và \( y \) phải là chẵn và lẻ.

Thử lại:

Điều kiện là 5 số lẻ và 5 số chẵn. Ta có thể thử tìm \( x \) và \( y \) như sau:

\[
x = 609 \quad (\text{số lẻ})
\]
\[
y = 625 \quad (\text{số chẵn})
\]
Số giữa 609 và 625 có các số sau:

- Số lẻ: 611, 613, 615, 617, 619
- Số chẵn: 610, 612, 614, 616, 618

Cuối cùng, ta đã tìm ra 2 số thoả mãn điều kiện là \( 609 \) và \( 625 \).

Kết luận: Hai số cần tìm là \( 609 \) và \( 625 \).