Để chứng minh bốn điểm \( D, E, I, C \) cùng thuộc đường tròn, ta sẽ áp dụng định lý đồng vị (điểm cùng thuộc đường tròn) dựa vào góc nội tiếp.

### Giả thiết:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn.
- \( AC \) là một dây cung.
- \( A, B \) là hai điểm trên đường tròn, và \( E \) là điểm trên \( AC \) sao cho \( CA \) cắt đường tròn tại \( E \).
- \( D \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( D \) nằm trên tiếp tuyến.

### Chứng minh:
1. **Xét góc \( \angle ECI \) và góc \( \angle EDC \)**:
- Do \( I \) là giao điểm của \( AC \) và \( BE \), ta có hai tam giác liên quan là \( \triangle ECI \) và \( \triangle EDC \).
- Ta sẽ chứng minh rằng góc \( \angle ECI = \angle EDC \).

2. **Chứng minh các góc này bằng nhau**:
- Theo định lý về góc nội tiếp:
- \( \angle ECI \) là góc nội tiếp có đỉnh tại \( C \) và chứa cung \( EI \).
- \( \angle EDC \) là góc có đỉnh tại \( D \) cũng chứa cung \( EI \).
- Do đó, ta có \( \angle ECI = \angle EDC \).

3. **Kết luận**:
- Vì \( \angle ECI = \angle EDC \), theo định lý góc đồng dạng, từ đó xác định rằng 4 điểm \( D, E, I, C \) thuộc một đường tròn, bởi cùng phát sinh từ cung \( EI \).

### Kết luận:
Bốn điểm \( D, E, I, C \) cùng thuộc đường tròn (đường tròn có đường kính là đoạn thẳng nối giữa hai điểm \( E, C \)).