Cho f(x) có hệ số nguyên; chứng minhnếu f(x) + 12 có 6 nghiệm phân biệt thì f(x) không có nghiệm nguyên

Để chứng minh rằng nếu \( f(x) + 12 \) có 6 nghiệm phân biệt, thì \( f(x) \) không có nghiệm nguyên, ta có thể làm như sau:

Giả sử \( f(x) \) có hệ số nguyên và có ít nhất một nghiệm nguyên, gọi là \( r \). Khi đó, ta có:

\[
f(r) = 0 \implies f(r) + 12 = 12
\]

Như vậy, \( f(r) + 12 = 12 \) là một nghiệm của phương trình \( f(x) + 12 = 0 \).

Điều này có nghĩa là phương trình \( f(x) + 12 = 0 \) có ít nhất một nghiệm là \( r \), một dạng nghiệm nguyên.

Tuy nhiên, theo giả thiết, phương trình \( f(x) + 12 = 0 \) có 6 nghiệm phân biệt. Một phương trình bậc \( n \) với hệ số nguyên chỉ có thể có từ 0 đến \( n \) nghiệm nguyên, trong đó \( n = 6 \) trong trường hợp này. Nếu \( f(x) + 12 = 0 \) có 6 nghiệm phân biệt, thì không thể có một nghiệm nguyên \( r \) để làm giảm bậc của đa thức từ ít hơn 6 nghiệm phân biệt.

Vì vậy, chúng ta đi đến mâu thuẫn khi cho rằng \( f(x) \) có nghiệm nguyên.

Do đó, nếu phương trình \( f(x) + 12 \) có 6 nghiệm phân biệt, thì \( f(x) \) không có nghiệm nguyên.

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh rằng nếu \( f(x) + 12 \) có 6 nghiệm phân biệt, thì \( f(x) \) không có nghiệm nguyên.