Chứng minh A; M; C; K cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh BK là tia phân giác của MBN

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng yêu cầu.

### a) Chứng minh A, M, C, K cùng thuộc một đường tròn

**Để chứng minh A, M, C, K cùng thuộc một đường tròn**, ta sẽ sử dụng định lý đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Xét tam giác AMC:
- Chúng ta đã biết rằng MN vuông góc với AB tại H.
- Do đó, góc AMH = góc CMH = 90°.

Điều này chỉ ra rằng điểm H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC.

Tương tự, do AN cắt BM tại C và đường thẳng qua C vuông góc với AB tại K, ta cũng thấy rằng H cũng nằm trên đường tròn đi qua A, M, C, K.

Do đó, ta có thể kết luận rằng A, M, C, K cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh BK là tia phân giác của MBN

**Để chứng minh BK là tia phân giác của MBN**, ta sẽ xem xét các góc liên quan.

- Ta thấy rằng K là giao điểm của đường thẳng qua C vuông góc với AB và BN. Do đó, góc BKD = 90°.
- M là điểm ngoại tiếp của đoạn AB, và BN là đường chéo của tam giác MBN.
- Góc MBN = 90° (do MN vuông góc với AB).

Áp dụng định lý góc vuông, ta có:
\[
\angle MKB = \angle KMB
\]
Điều này dẫn tới BK chắn chắn là tia phân giác của góc MBN.

### c) Chứng minh tam giác KMC cân và KM là tiếp tuyến của (O)

**Để chứng minh tam giác KMC cân**:
- Ta có K là điểm nằm trên đường kính của đường tròn (O).
- K là giao điểm của đường tròn đi qua M và C và đường thẳng (AB).

Từ những thông tin này, ta suy luận được rằng:
- Chúng ta có góc MKC = góc KMC, tức là MC = MK, do đó tam giác KMC là tam giác cân.

**Chứng minh KM là tiếp tuyến của (O)**:
- Vì KM là vuông góc với đường kính AB và điểm M nằm trên đường tròn (O), theo định lý tiếp tuyến, ta suy ra KM là tiếp tuyến của (O).

### d) Tìm vị trí của M trên (O) để tứ giác MNKC trở thành hình thoi

**Để tứ giác MNKC trở thành hình thoi**, điều kiện cần là:
- MN = NK và MN = KC.

Từ đó, ta cần tìm một điểm M thuộc (O) sao cho MA = MB và NH = HK, nghĩa là khi M di chuyển gần B thì khoảng cách của nó từ A và B là đều nhau.

Do đó điều kiện này có thể xảy ra nếu M nằm trên đường tròn (O) như là phân giác đối xứng qua trung điểm AB. Ta có thể lấy điểm M là điểm cách đều giữa A và B trên đường tròn (O).

Chúng ta có thể khẳng định rằng vị trí của M sẽ là ở giữa của đường kính AB của (O).

Đến đây, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh cho tất cả các câu hỏi liên quan tới bài toán trên.