CHỨNG MINH RẰNG PHƯƠNG TRÌNH (1) LUÔN CÓ HAI NGHIỆM VỚI MỌI M

Để chứng minh phương trình \( x^2 - (2m - 1)x + m(m - 1) = 0 \) luôn có hai nghiệm với mọi \( m \), trước hết ta sẽ tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), với:
- \( a = 1 \)
- \( b = -(2m - 1) \)
- \( c = m(m - 1) \)

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta, ta có:

\[
\Delta = (-(2m - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m(m - 1))
\]

\[
= (2m - 1)^2 - 4m(m - 1)
\]

\[
= 4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 + 4m
\]

\[
= 1
\]

Ta thấy rằng \( \Delta = 1 \), một hằng số dương. Vậy có thể kết luận rằng phương trình \( x^2 - (2m - 1)x + m(m - 1) = 0 \) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \( m \).

### Chứng minh rằng \( x_1, x_2 \) là hai nghiệm của phương trình và thỏa mãn \( x_1^2 - 2x_2 + 3 \geq 0 \):

Bất phương trình cần chứng minh là:

\[
x_1^2 - 2x_2 + 3 \geq 0
\]

Sử dụng định lý Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = 2m - 1
\]
\[
x_1 x_2 = m(m - 1)
\]

Bây giờ ta sẽ thay \( x_2 \) bằng \( (2m - 1) - x_1 \) vào bất phương trình:

\[
x_1^2 - 2((2m - 1) - x_1) + 3 \geq 0
\]

Rút gọn biểu thức này:

\[
x_1^2 - 4m + 2 + 2x_1 + 3 \geq 0
\]

\[
x_1^2 + 2x_1 - 4m + 5 \geq 0
\]

Để biết biểu thức này có nghiệm hay không, ta xem xét \( \Delta \):

\[
\Delta = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4m + 5) = 4 + 16m - 20 = 16m - 16 = 16(m - 1)
\]

Nếu \( m \geq 1 \), thì \( \Delta \geq 0 \). Do đó bất phương trình sẽ có nghiệm.

Kết luận:

- Phương trình \( x^2 - (2m - 1)x + m(m - 1) = 0 \) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \( m \).
- Bất phương trình \( x_1^2 - 2x_2 + 3 \geq 0 \) cũng thỏa mãn cho \( x_1 \) và \( x_2 \) đó.

Vậy tất cả các điều kiện đã được chứng minh.