Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm giá trị số nguyên \( n \) thỏa mãn các điều kiện được đưa ra.

**a) \( (n + 17) \mid (n + 3) \)**

Đây có nghĩa là \( n + 3 \) chia hết cho \( n + 17 \). Ta có thể viết lại điều kiện này như sau:

\[
n + 3 = k(n + 17)
\]

với \( k \) là một số nguyên. Ta sẽ viết lại và giải.

\[
n + 3 = kn + 17k \implies n - kn = 17k - 3 \implies n(1 - k) = 17k - 3
\]

Nếu \( 1 - k \neq 0 \):

\[
n = \frac{17k - 3}{1 - k}
\]

Để \( n \) là số nguyên, \( 17k - 3 \) phải chia hết cho \( 1 - k \).

Ta thử các giá trị của \( k \):

1. \( k = 1 \): \( n + 3 = n + 17 \) => không có giá trị nào.
2. \( k = 2 \): \( n + 3 = 2(n + 17) \) => \( n + 3 = 2n + 34 \) => \( n = -31 \).
3. Giá trị khám phá tiếp theo sẽ là \( k = 3 \), \( k = -1 \), v.v., nhưng chúng ta có thể nhận thấy rằng nếu thử nhiều giá trị, số nguyên sẽ liên tiếp không có nghiệm.

Chúng ta tìm thấy nghiệm là \( n = -31 \).

**b) \( (4n - 5) \mid (2n - 1) \)**

Tương tự, ta viết:

\[
2n - 1 = k(4n - 5)
\]

Giải phương trình này:

\[
2n - 1 = 4kn - 5k \implies 2n - 4kn = -5k + 1 \implies n(2 - 4k) = 1 - 5k
\]

Từ đây, ta có:

\[
n = \frac{1 - 5k}{2 - 4k}
\]

Ta thử các giá trị của \( k \):

1. \( k = 0 \): \( n = \frac{1}{2} \) (không phải nguyên).
2. \( k = 1 \): \( n = -2 \).
3. \( k = -1 \): \( n = \frac{6}{6} = 1 \).

Do đó, nghiệm nguyên là \( n = -2 \) và \( n = 1 \) nếu đi từng bước thăm dò.

**c) \( (n^2 + 3n + 1) \mid (n + 1) \)**

Ta viết lại:

\[
n + 1 = k(n^2 + 3n + 1)
\]

Điều này dẫn đến:

\[
n + 1 = kn^2 + 3kn + k
\]

Sắp xếp lại:

\[
kn^2 + (3k - 1)n + (k - 1) = 0
\]

Vì đây là phương trình bậc hai nên để có nghiệm nguyên thì cần khám phá giá trị của \( k \):

- Nếu \( k = 0 \): \( n + 1 = 0 \) => \( n = -1 \) là nghiệm.
- Kiểm tra các giá trị khác, có thể không ra nghiệm nguyên nào khác.

Tổng hợp lại, chúng ta có:

- \( a) n = -31 \)
- \( b) n = -2 \) hoặc \( n = 1 \)
- \( c) n = -1 \)

Hy vọng bài giải giúp ích cho bạn!