Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

Để chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các góc của nó là góc vuông.

1. **Góc AHE và góc AHF**:
- HE vuông góc với AB.
- HF vuông góc với AC.
- Vì \( \angle AHE \) và \( \angle AHF \) đều là góc vuông (90 độ), nên hai góc này cùng vuông góc với hai cạnh khác nhau.

2. **Góc HAE** và **góc HAF**:
- Hai góc này là các góc chéo trong tứ giác AEHF.

Vậy tứ giác AEHF có hai góc vuông, có nghĩa là AEHF là hình chữ nhật.

### b) Trên tia đối của tia HE, lấy điểm I sao cho HI = HE. Tứ giác AHIF là hình gì? Vì sao?

- Khi lấy điểm I trên tia đối của HE sao cho HI = HE, ta có:
- HI = HE → *do đó, I là điểm đối xứng với E qua H*.

Tứ giác AHIF có các tính chất như sau:
- AH = HI (đặt AH = AH)
- HE = HI
Do đó, tứ giác AHIF có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Vậy tứ giác AHIF là hình **thoi** (hoặc hình bình hành) vì hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và có nghĩa là AHIF là hình chóp.

### c) Từ điểm H, kẻ HP vuông góc với AI (P ∈ AI). Chứng minh EPF = 90 độ.

- Dễ dàng nhận thấy rằng từ H kẻ HP vuông góc với AI, áp dụng tính chất góc vuông при H.
- AE = HP (đã chứng minh ở phần a)

Như vậy, góc EPF sẽ vuông góc với AE do H đã là điểm khởi đầu kẻ vuông góc với AI.

Do đó, ta có \( \angle EPF = 90 \) độ.