Để tìm giá trị nguyên của \( x \) để các biểu thức trên có giá trị nguyên, ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### 1. Biểu thức \( M \)
\[
M = \frac{4}{\sqrt{x} - 3}
\]
Để \( M \) là số nguyên, \( \sqrt{x} - 3 \) phải chia hết cho \( 4 \). Do đó, \( \sqrt{x} - 3 \) phải là các ước số của \( 4 \), tức là \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

Giải từng trường hợp:
- \(\sqrt{x} - 3 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16\)
- \(\sqrt{x} - 3 = 2 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25\)
- \(\sqrt{x} - 3 = 4 \Rightarrow \sqrt{x} = 7 \Rightarrow x = 49\)
- \(\sqrt{x} - 3 = -1 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4\)
- \(\sqrt{x} - 3 = -2 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1\)
- \(\sqrt{x} - 3 = -4 \Rightarrow \sqrt{x} = -1\) không có nghiệm nguyên.

Vậy, giá trị nguyên của \( x \) cho \( M \) là \( 1, 4, 16, 25, 49 \).

### 2. Biểu thức \( N \)
\[
N = \frac{10}{3\sqrt{x} + 2}
\]
Cách phân tích tương tự:
Để \( N \) là số nguyên, \( 3\sqrt{x} + 2 \) phải chia hết cho \( 10 \).
Giải từng trường hợp giống như trên sẽ cho các giá trị nguyên của \( x \).

### 3. Biểu thức \( P \)
\[
P = \frac{3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3}
\]
Xem xét tử và mẫu, tìm điều kiện để \( P \) là nguyên.

### 4. Biểu thức \( Q \)
\[
Q = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x} - 3}
\]
Tương tự như các biểu thức trên, tìm các giá trị nguyên.

### 5. Biểu thức \( R \)
\[
R = \frac{2\sqrt{x} - 5}{3\sqrt{x} + 1}
\]
Cách tìm cũng giống như trên.

### Tổng kết
Bạn cần áp dụng các bước phân tích điều kiện và giải cho từng biểu thức để tìm ra giá trị nguyên của \( x \) sao cho mỗi biểu thức trên có giá trị nguyên.