Để tìm các số tự nhiên \(x\) và \(y\) sao cho phương trình \((2x+1)(y^2-5)=12\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích phương trình**:
\[
(2x + 1)(y^2 - 5) = 12
\]
Ta có \(2x + 1\) và \(y^2 - 5\) là các thừa số của 12. Các thừa số của 12 là: \( (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1) \).

2. **Kiểm tra từng cặp thừa số**:
- **Cặp (1, 12)**:
\[
2x + 1 = 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \quad (x \geq 0)
\]
\[
y^2 - 5 = 12 \Rightarrow y^2 = 17 \quad (không phải là số tự nhiên)
\]

- **Cặp (2, 6)**:
\[
2x + 1 = 2 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0.5 \quad (không phải là số tự nhiên)
\]

- **Cặp (3, 4)**:
\[
2x + 1 = 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1
\]
\[
y^2 - 5 = 4 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = 3
\]
\( \Rightarrow (x, y) = (1, 3) \) là một nghiệm.

- **Cặp (4, 3)**:
\[
2x + 1 = 4 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5 \quad (không phải là số tự nhiên)
\]

- **Cặp (6, 2)**:
\[
2x + 1 = 6 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5 \quad (không phải là số tự nhiên)
\]

- **Cặp (12, 1)**:
\[
2x + 1 = 12 \Rightarrow 2x = 11 \Rightarrow x = 5.5 \quad (không phải là số tự nhiên)
\]

3. **Kết luận**:
Sau khi kiểm tra tất cả các cặp thừa số, ta chỉ tìm được một nghiệm duy nhất:
\[
\boxed{(1, 3)}
\]