Giải bài toán này theo từng phần như sau:

### a) Tam giác ABE là tam giác gì? Chứng minh: ∆ABD = ∆EBD

**Tam giác ABE:**
Tam giác ABE có điểm A là một đỉnh, và theo giả thiết AB < AC, BE = BA. Do đó, tam giác ABE có hai cạnh bằng nhau, tức là:

\[ AB = BE \]

Vì vậy, tam giác ABE là tam giác isosceles (tam giác cân) với cạnh AB và BE bằng nhau.

**Chứng minh: ∆ABD = ∆EBD**

Để chứng minh rằng hai tam giác ABD và EBD bằng nhau, ta cần chứng minh rằng:

- Có 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
- Có 1 cặp góc tương ứng bằng nhau.

1. **Cặp cạnh bằng nhau**:
- Ta có AB = BE (theo giả thiết).
- Cạnh BD là chung cho cả hai tam giác (cạnh chung).

2. **Cặp góc bằng nhau**:
- Góc ADB = góc EDB (vì BD là tia phân giác của góc ABC).

Từ đây, chúng ta có thể kết luận rằng:
\[ \Delta ABD \cong \Delta EBD \] (theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-góc hoặc góc-cạnh-cạnh).

### b) Chứng minh: DE vuông góc BC

Để chứng minh DE vuông góc với BC, ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác vuông.

Xét hai tam giác ABD và EBD:
- Theo giả thiết, BD là tia phân giác của góc ABC.
- Bởi vì góc A là 90 độ (tam giác vuông tại A), nên góc DAB + góc DBC = 90 độ.

Do đó, với góc DAB = góc EBD (vì chúng là hai góc đối diện với cạnh chung BD trong hai tam giác bằng nhau), ta có:

- Góc ABD = góc DBC.
- Từ đó, ta có:
\[ \angle DEB + \angle EBD = 90^\circ \]

Như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng DE vuông góc với BC, cụ thể là:

\[ DE \perp BC \]

Chứng minh đã hoàn tất.