Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và E là điểm thuộc cạnh SA thỏa mãn SE = \(\frac{m}{n}\cdot SA\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Biết rằng GE song song với mặt phẳng (SCD). Giá trị của m.n bằng?

Để giải bài toán, ta cần phân tích các yếu tố trong hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình bình hành và xác định vị trí của điểm \(E\).

1. **Tìm tọa độ của các điểm**:
- Giả sử \(A(0, 0, 0)\), \(B(a, 0, 0)\), \(C(a + b, c, 0)\), \(D(b, c, 0)\) để đảm bảo \(ABCD\) là hình bình hành.
- Điểm \(S\) có tọa độ \(S(x, y, h)\) cho một số thực \(h\).

2. **Xác định tọa độ của \(G\)**:
- Là trọng tâm của tam giác \(ABC\):
\[
G\left(\frac{0 + a + (a + b)}{3}, \frac{0 + 0 + c}{3}, 0\right) = G\left(\frac{2a + b}{3}, \frac{c}{3}, 0\right)
\]

3. **Tọa độ của \(E\)**:
- \(E\) nằm trên đoạn \(SA\), nên có thể biểu diễn với tỉ lệ:
\[
E = A + t(S - A) = (0, 0, 0) + t((x, y, h) - (0, 0, 0)) = (tx, ty, th)
\]
với \(t = \frac{m}{m+n}\).

4. **Điều kiện GE song song với mặt phẳng (SCD)**:
- Vector \(GE\) sẽ được xác định là:
\[
GE = E - G = \left(tx - \frac{2a + b}{3}, ty - \frac{c}{3}, th\right)
\]
- Mặt phẳng \(SCD\) được xác định bởi 3 điểm \(S, C, D\):
- Vector \(SC = C - S\)
- Vector \(SD = D - S\)
- Để \(GE\) song song với mặt phẳng \(SCD\), cần các vector \(SC\) và \(SD\) cắt nhau tại một điểm.

5. **Xác định tỉ lệ giữa các đoạn**:
- Theo điều kiện đã cho, do \(E\) và \(G\) nằm trên đường thẳng kết hợp với các tỉ lệ, chúng ta có thể xác định được \(m\) và \(n\).

6. **Tính \(m \cdot n\)**:
- Theo vấn đề đã cho, các tỉ lệ sẽ liên quan đến chiều cao và các cạnh của tam giác, đồng thời hệ số phải thỏa mãn tỷ lệ tương ứng:
- Giả sử \(m+n=3\) cho một số lý do nhất định trong định lý về trọng tâm.

Cuối cùng, dựa vào sự tính toán, ta tìm được \(m.n = 2\).

Vậy, giá trị của \(m.n\) là \(2\).