Tính góc ABC; chứng minh tam giác ABD = EBD

Để tính góc ABC và chứng minh các hệ quả đã cho, ta tiến hành như sau:

1. **Tính góc ABC**:

- Ta có tam giác ABC vuông tại A và góc C bằng 30 độ. Do đó, ta có:
\[
\angle CAB + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ
\]
Với \(\angle CAB = 90^\circ\) và \(\angle BCA = 30^\circ\), suy ra:
\[
\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
\]

2. **Chứng minh tam giác ABD = EBD**:

Giả sử D là một điểm trên cạnh AC và DE vuông góc với BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại điểm E.

- Trong tam giác ABD và EBD, ta có:
- Cạnh AB chung.
- Hai góc \(\angle ABE\) và \(\angle EBD\) bằng nhau (do DE là tia phân giác).
- Từ đó, ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle EBD \quad (Theo tiêu chuẩn góc-cạnh-góc)
\]

3. **Chứng minh tg ABD bằng tg EBD**:

- Việc chứng minh tg nhân đối với hai tam giác này là đơn giản, do hai tam giác này bằng nhau:
\[
tg \angle ABD = tg \angle EBD
\]

4. **Chứng minh tg ADK bằng tg EDC**:

- Gọi K là giao điểm của DE và AB. Giả sử \(\angle ADK\) cùng với \(\angle EDC\) được tạo bởi các đường thẳng tương ứng. Vì DE vuông góc BC và D ở trên AC, ta có:
\[
tg \angle ADK = \frac{AK}{AD} \quad và \quad tg \angle EDC = \frac{ED}{EC}
\]
- Như vậy, \(\triangle ADK\) và \(\triangle EDC\) có tính đồng dạng.

5. **Chứng minh tam giác BCK cân**:

- Trong tam giác BCK, do ta có DE vuông góc với BC, điều này cho biết CK là đường trung trực của BC. Khi đó, \(\angle BKC = \angle KBC\), cho nên:
\[
BK = KC
\]
- Từ đó suy ra tam giác BCK là tam giác cân.

Như vậy, từ các chứng minh trên, ta đã tính được góc ABC, chứng minh được các tỷ số cạnh của các tam giác và đặc điểm cân của tam giác BCK.