Để giải bài toán \( \frac{2x+1}{5} = \frac{3y-2}{7} = \frac{2x+3y-1}{6x} \), ta gọi tất cả các biểu thức này bằng một giá trị chung, ví dụ \( k \). Từ đó, ta có:

1. \( 2x + 1 = 5k \) (1)
2. \( 3y - 2 = 7k \) (2)
3. \( 2x + 3y - 1 = 6kx \) (3)

**Bước 1: Giải các phương trình (1) và (2)**

Từ (1), ta có:
\[
2x = 5k - 1 \implies x = \frac{5k - 1}{2}
\]

Từ (2), ta có:
\[
3y = 7k + 2 \implies y = \frac{7k + 2}{3}
\]

**Bước 2: Thay \( x \) và \( y \) vào (3)**

Thay \( x \) và \( y \) vào (3):
\[
2\left(\frac{5k - 1}{2}\right) + 3\left(\frac{7k + 2}{3}\right) - 1 = 6k \left(\frac{5k - 1}{2}\right)
\]

Giải phương trình:
\[
5k - 1 + 7k + 2 - 1 = 15k^2 - 3k
\]
\[
12k = 15k^2 - 3k
\]
\[
0 = 15k^2 - 15k
\]
\[
0 = 15k(k - 1)
\]

Từ đây, ta có hai trường hợp: \( k = 0 \) hoặc \( k = 1 \).

**Trường hợp 1: \( k = 0 \)**
- Từ (1): \( x = \frac{5 \cdot 0 - 1}{2} = -\frac{1}{2} \)
- Từ (2): \( y = \frac{7 \cdot 0 + 2}{3} = \frac{2}{3} \)

**Trường hợp 2: \( k = 1 \)**
- Từ (1): \( x = \frac{5 \cdot 1 - 1}{2} = 2 \)
- Từ (2): \( y = \frac{7 \cdot 1 + 2}{3} = 3 \)

**Kết quả:**
- Trường hợp 1: \( (x, y) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right) \)
- Trường hợp 2: \( (x, y) = (2, 3) \)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (2, 3) \) hoặc \( (x, y) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right) \).