Cho nửa đường tròn (O) và đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần a, b và c.

### a) Chứng minh rằng \( \angle COD = 90^\circ \) và \( AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4} \).

1. **Tính chất tiếp tuyến**: Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn có độ dài từ điểm đó đến đường tròn là vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Do đó:
- \( OA \perp AC \) và \( OB \perp BD \).

2. **Tam giác \( OAC \) và \( OBD \)**:
- \( \triangle OAC \) và \( \triangle OBD \) đều là tam giác vuông tại các điểm tiếp xúc \( C \) và \( D \).

3. **Độ dài \( AC \) và \( BD \)**:
- Sử dụng định lý Pitago:
\[
AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{R^2 - DM^2}
\]
\[
BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} = \sqrt{R^2 - DM^2}
\]

4. **Chứng minh góc \( COD \)**: Từ \( O \) kẻ các đoạn thẳng \( OC \) và \( OD \). Với 3 điểm \( O, C, D \) tạo thành tam giác vuông tại \( C \) và \( D \), ta có \( \angle COD = 90^\circ \).

5. **Chứng minh AC - BD**:
- Ta có \( AC = \frac{R^2}{R} = \frac{AB^2}{4} \) dựa vào sự tương tự trong tam giác.

### b) Chứng minh rằng \( MN \perp AB \).

- \( MN \) là đường thẳng nối hai điểm \( M \) và \( N \). Do các điểm \( C \) và \( D \) nằm trên tiếp tuyến, và tiếp tuyến at \( A \) và \( B \) đều vuông góc với đường nối từ tâm \( O \) đến tiếp điểm. Do đó, \( MN \) vuông góc với \( AB \).

### c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \( OM, OA \) và \( MA \).

1. **Diện tích hình quạt**: Diện tích hình quạt do bán kính \( r \) và góc \( \theta \) với:
\[
S = \frac{1}{2}r^2\theta.
\]

2. **Áp dụng cho \( OM, OA\)**: Giả sử \( OM = r_1, OA = r_2 \), và xác định góc \( \theta \) tương ứng.

Kết hợp các yếu tố sẽ cho chúng ta diện tích cụ thể cho vùng hình quạt đã cho.

Hy vọng với cách tiếp cận này, bạn có thể hoàn thiện bài toán theo yêu cầu!