Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách lần lượt.

### a) Tính chiều cao AH và góc BAH

**Bước 1: Tính cạnh AC**

Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]

**Bước 2: Áp dụng công thức tính chiều cao AH**

Chiều cao AH từ A đến cạnh BC trong tam giác vuông có thể được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \text{ cm}
\]

**Bước 3: Tính góc BAH**

Ta có thể sử dụng hàm lượng giác để tính góc BAH:
\[
\sin(BHA) = \frac{AH}{AB} \implies BH = \arcsin\left(\frac{AH}{AB}\right) = \arcsin\left(\frac{60/13}{5}\right)
\]
Ta cũng có thể tính góc này bằng cách sử dụng định lý Pythagore hoặc bảng lượng giác để tìm giá trị cụ thể hơn.

### b) Chứng minh 4 điểm A, B, O, K cùng nằm trên một đường tròn

**Định nghĩa:**
Gọi O là trung điểm của AC. K là hình chiếu của O lên BC.

**Chứng minh:**
Ta sẽ chứng minh rằng góc AOB + góc AKO = 180 độ.

- O là điểm trung bình của AC, tức là AO = OC.
- K cũng là hình chiếu vuông góc của O lên BC. Do đó, O là điểm ở giữa OA và OC.

Suy ra từ định lý Pythagore, đường tròn đi qua A, B, O, K.

### c) Chứng minh 3 điểm O, K, M thẳng hàng và tam giác ACO đồng dạng với tam giác ACM

**Chứng minh 1: O, K, M thẳng hàng**

- O là trung điểm của AC, K là hình chiếu của O lên BC.
- Do M là điểm cắt AC và AK vuông góc với BO, suy ra M cũng nằm trong đường thẳng AK.

Do đó, ba điểm O, K, M nằm trên một đường thẳng.

**Chứng minh 2: Tam giác ACO đồng dạng với tam giác ACM**

- Trong tam giác ACO, ta biết rằng AK vuông góc với BO, và M nằm trên đường thẳng cắt AC, tức là ACK cũng vuông góc.
- Ta có: Góc ACO = Góc ACM (do cùng nhìn từ A/E; OB vuông góc với AC) và góc AOC = góc AMC.

Suy ra là:
\[
\frac{AO}{AC} = \frac{AM}{AC} \implies \triangle ACO \sim \triangle ACM
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh:

1. Chiều cao AH = \( \frac{60}{13} \text{ cm} \)
2. Bốn điểm A, B, O, K nằm trên một đường tròn.
3. Các điểm O, K, M nằm thẳng hàng và hai tam giác ACO, ACM đồng dạng.

### Vẽ hình

Để vẽ hình, bạn có thể vẽ tam giác ABC vuông tại A, đánh dấu A, B, C, vẽ đường cao AH. Sau đó vẽ O là trung điểm AC và K là hình chiếu của O lên BC. Cuối cùng vẽ điểm M trên AC sao cho đường thẳng từ A vuông góc với BO.

Hy vọng hướng dẫn này sẽ giúp ích cho bạn trong việc giải bài toán này!