Để chứng minh các tính chất trong tam giác ABC như đã nêu, chúng ta sẽ làm theo từng phần một.

**a) Chứng minh rằng ΔABH = ΔACK**

Xét tam giác ABC cân tại A với A < 90 độ:

1. **Góc tại A**: Do tam giác ABC là tam giác cân tại A, có AB = AC nên ∠ABH = ∠ACK (góc này đều là góc vuông).

2. **Góc vuông**: Từ đề bài, ta có BH vuông góc với AC tại H và CK vuông góc với AB tại K. Do đó:
- ∠ABH = 90°
- ∠ACK = 90°

3. **Cạnh chung**: Ta có AH = AK (đều là đoạn vuông góc hạ từ A xuống các cạnh tương ứng).

Từ những điều này, chúng ta có các cặp góc và cạnh tương ứng trong hai tam giác ABH và ACK. Theo tiêu chí góc-góc-cạnh (góc-góc-cạnh), ta có thể kết luận rằng ΔABH ≅ ΔACK.

**b) Chứng minh rằng IB = IC**

1. **Trung điểm**: Khi các tam giác ΔABH và ΔACK bằng nhau, ta có cặp cạnh tương ứng bằng nhau và cạnh góc của chúng cũng bằng nhau (IB = IC) do hai tam giác này đồng dạng và nằm trong cùng một tam giác ABC cân.

2. **Đồng dạng**: Vì tam giác ABC cân và điểm I là điểm nội tiếp trong tam giác nên đoạn thẳng BI và CI cũng sẽ bằng nhau (IB = IC) theo định lý đường phân.

**c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, I, M thẳng hàng**

1. **Tính chất trung điểm**: M là trung điểm của BC, do đó BM = MC.

2. **Tính chất đối xứng của tam giác cân**: Với tam giác ABC cân tại A, do đó MI sẽ nằm trên đường trung bình và chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau.

3. **Điểm I nội tiếp**: Điểm I là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp ở bên trong tam giác ABC. Trong tam giác cân, điểm I sẽ nằm trên đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC.

4. **Hình học phẳng**: Khi đã có I nằm trên đường cao, M là trung điểm thì A, I, M sẽ thẳng hàng.

Từ các lập luận phía trên, ta có thể khẳng định rằng ba điểm A, I, M thẳng hàng.

Vậy đã chứng minh xong các câu hỏi trong đề bài.