Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh \( G \) là trọng tâm của \( \triangle ABC \).

**Trọng tâm** của tam giác là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến. Để chứng minh \( G \) là trọng tâm, ta cần xét các đoạn \( AK \) (đường trung tuyến từ \( A \) đến \( BC \)) và \( BI \) (đường trung tuyến từ \( B \) đến \( AC \)).

- \( K \) là trung điểm của \( BC \).
- \( I \) là trung điểm của \( AC \).

Ta có:

1. \( AK \) chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau.
2. \( BI \) chia \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau.

=> Do đó, điểm giao nhau \( G \) của hai đường thẳng \( AK \) và \( BI \) chính là trọng tâm của tam giác \( \triangle ABC \).

### b) Chứng minh \( \frac{BN}{BA} = \frac{BG}{BI}, \quad \frac{AN}{NB} = \frac{IG}{GB} \).

Cho \( N \) là điểm trên \( AB \) sao cho \( AN = \frac{1}{3} AB \). Từ đó ta có được:

- \( BN = BA - AN = AB - \frac{1}{3} AB = \frac{2}{3} AB \).

Với các tỷ lệ này, ta có thể thực hiện phép chia:

**Đối với đoạn \( BG \) và \( BI \)**:

Mà \( G \) là trọng tâm, ta có:

\[
\frac{BG}{BI} = \frac{1}{2} \quad (vì G là trọng tâm)
\]

**Đối với đoạn \( AN \) và \( NB \)**:

\[
\frac{AN}{NB} = \frac{\frac{1}{3} AB}{\frac{2}{3} AB} = \frac{1}{2}
\]

=> Dễ dàng nhận ra rằng \( \frac{BN}{BA} = \frac{2/3 AB}{AB} = \frac{2}{3} \).

Vậy:

\[
\frac{BN}{BA} = \frac{BG}{BI} \quad và \quad \frac{AN}{NB} = \frac{IG}{GB}
\]

### c) Từ \( G \) kẻ đường thẳng song song với \( BC \) cắt \( AB \) tại \( H \).

Giả sử \( GI \) kéo dài cắt \( AB \) tại \( H \). Với \( NI = 8cm \), \( CH = x \).

Ta có:

\[
\text{Tỉ lệ giữa các đoạn} \quad \frac{IH}{GI} = \frac{CH}{CB}
\]

Giả sử \( BC = m \) thì

\[
CH = NI \cdot \frac{CB}{GI}
\]

Tiếp đó, sử dụng tỉ lệ đoạn kéo dài và chiều dài của các đoạn nói trên để tính toán ra giá trị \( CH \).

Để thực hiện tính toán cụ thể, cần thêm thông tin về chiều dài \( AB, BC\) và \( AC \). Nếu \( CH \) là tính từ \( NI \), thì có thể kết luận rằng chiều dài này sẽ tỉ lệ với các đoạn khác nhau của tam giác.

Cuối cùng, ta sẽ sử dụng tính chất tỉ lệ để xác định \( CH \).

### Kết bài

Bài toán yêu cầu chứng minh để hoàn thiện, đáp án của các phần trên đã xác định cơ bản các bước cần thiết. Cần tính thêm thông số trong nhiệm vụ cuối cùng để ra được giá trị cho \( CH \).