Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần của bài toán theo từng yêu cầu.

**a) Chứng minh rằng tam giác \( AIB = ACK \)**

1. **Định nghĩa các góc:**
- Gọi \( \angle AIB \) là góc tại \( I \) trong tam giác \( AIB \).
- Gọi \( \angle ACK \) là góc tại \( C \) trong tam giác \( ACK \).

2. **Xét các góc:**
- Vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), nên \( AB = AC \) và \( \angle ABC = \angle ACB \).
- Do \( BH \perp AC \) tại \( H \) nên \( \angle BHI = 90^\circ \).
- Do \( CK \perp AB \) tại \( K \) nên \( \angle CKA = 90^\circ \).

3. **Suy ra các góc:**
- Trong tam giác \( AIB \), chúng ta có:
\[
\angle AIB = 180^\circ - (90^\circ + \angle A) = 90^\circ - \angle A
\]
- Tương tự trong tam giác \( ACK \):
\[
\angle ACK = 180^\circ - (90^\circ + \angle A) = 90^\circ - \angle A
\]

4. **Kết luận:**
- Do \( AB = AC \), \( \angle AIB = \angle ACK \), và \( IA = IA \). Do đó, theo quy tắc tam giác theo đương lương (SAS), ta có \( \triangle AIB \cong \triangle ACK \).

**b) Chứng minh rằng \( IB = IC \)**

1. **Sử dụng tam giác vừa chứng minh:**
- Từ kết quả hồi trước, ta đã có \( \triangle AIB \cong \triangle ACK \).
- Theo tính chất của hai tam giác bằng nhau, ta có \( AB = AC \) dẫn đến tính chất cạnh tương ứng (chiếu xuống điểm I):
\[
IB = IC
\]

**c) Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh rằng ba điểm \( A, I, M \) thẳng hàng.**

1. **Xét vectơ:**
- Gọi \( M \) là trung điểm nên bình phương của các vectơ:
\[
\vec{BM} = \vec{MC}
\]

2. **Sử dụng tam giác đã chứng minh:**
- Từ \( \triangle AIB \cong \triangle ACK \), ta có \( IB = IC \), và kẻ đoạn thẳng từ \( I \) tới \( M \) cho ta điểm thẳng hàng sẽ là điều này hội tụ.

3. **Xét góc:**
- \( \angle AIB = \angle ACK \) cũng cho thấy rằng phương hướng từ điểm A tới điểm I và từ M đến I sẽ chỉ ra một đường đi chung, tạo thành một đường thẳng.

4. **Kết luận:**
- Bởi vì \( I \) nằm nằm giữa điểm \( A \) và điểm \( M \) (về mặt tỉ lệ), ba điểm \( A, I, M \) thẳng hàng.

Vậy chứng minh được các yêu cầu trong bài vấn đề đã hoàn thành.