Để tính diện tích tam giác \( AOD \) trong hình thang \( ABCD \), ta có thể sử dụng tính chất của hình thang và tỉ lệ giữa diện tích của các tam giác được tạo thành bởi các đường chéo.

Gọi diện tích tam giác \( AOD \) là \( S_{AOD} \) và diện tích tam giác \( BOC \) là \( S_{BOC} \).
Do hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại \( O \), ta có công thức:
\[
\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = \frac{AB}{CD}
\]

Gọi \( AB = a \) và \( CD = b \). Theo bài toán đã cho, ta có:
\[
AB = \frac{2}{3}b
\]

Gọi tổng diện tích của hình thang là \( S \):
\[
S = S_{AOD} + S_{BOC}
\]
Ta biết rằng diện tích hình thang \( ABCD \) là \( 40 \, cm^2 \). Do đó:
\[
S_{AOD} + S_{BOC} = 40
\]

Gọi \( S_{AOD} = S_{AOD} = x \) và từ đó diện tích của \( BOC \) là \( 40 - x \). Thay vào phương trình tỉ lệ diện tích ta có:
\[
\frac{x}{40 - x} = \frac{AB}{CD} = \frac{\frac{2}{3}b}{b} = \frac{2}{3}
\]

Giải phương trình trên:
\[
3x = 2(40 - x)
\]
\[
3x = 80 - 2x
\]
\[
5x = 80
\]
\[
x = 16
\]

Vậy, diện tích tam giác \( AOD \) là:
\[
S_{AOD} = 16 \, cm^2
\]

Kết luận, diện tích tam giác \( AOD \) là \( 16 \, cm^2 \).