Để giải quyết các bài toán bạn vừa đưa ra, ta sẽ xử lý từng phần một.

### Phần 1: Tính giá trị biểu thức
Tính giá trị của biểu thức sau:
\[
(2 + 4 + 6 + 8 + \ldots + 2024) - (3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + 2021)
\]

**Bước 1: Tính tổng các số chẵn từ 2 đến 2024.**

Tổng các số chẵn từ 2 đến 2024 là:
\[
2 + 4 + 6 + \ldots + 2024 = 2(1 + 2 + 3 + \ldots + 1012)
\]
Số hạng cuối là 2024 chia cho 2, được kết quả là 1012.

Sử dụng công thức tổng của số tự nhiên:
\[
1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]
Áp dụng vào n = 1012:
\[
1 + 2 + 3 + \ldots + 1012 = \frac{1012 \cdot 1013}{2} = 512 \cdot 1013 = 518656
\]
Do đó, tổng các số chẵn là:
\[
2 \cdot 518656 = 1037312
\]

**Bước 2: Tính tổng các số lẻ từ 3 đến 2021.**

Tổng các số lẻ từ 3 đến 2021 là:
\[
3 + 5 + 7 + \ldots + 2021 = (1 + 3 + 5 + \ldots + 2021) - 1
\]
Phương trình trên có thể viết lại:
Tổng số lẻ từ 1 đến 2021, và tổng số lẻ này có số hạng là 1011 (2021 chia cho 2 và cộng 1).

Áp dụng công thức:
\[
1 + 3 + 5 + \ldots + 2n - 1 = n^2
\]
Với n = 1011 thì:
\[
1 + 3 + 5 + \ldots + 2021 = (1011)^2 = 1022121
\]
Như vậy, tổng các số lẻ:
\[
1022121 - 1 = 1022120
\]

**Bước 3: Tính biểu thức đã cho.**

Cuối cùng:
\[
(2 + 4 + 6 + \ldots + 2024) - (3 + 5 + 7 + \ldots + 2021) = 1037312 - 1022120 = 15192
\]

### Phần 2: Chứng minh rằng \(A \equiv 0 \pmod{4}\)

Cho \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2021} \).

Đây là một chuỗi cấp số nhân:
\[
A = \frac{3^{2022} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{2022} - 1}{2}
\]

Để chứng minh \( A \equiv 0 \pmod{4} \), ta cần chứng minh \( 3^{2022} - 1 \equiv 0 \pmod{8} \) (bởi vì 2 là số chia).

**Tính giá trị của \( 3^{2022} \mod 8\)** :
- Ta thấy \( 3^1 \equiv 3 \mod 8 \)
- \( 3^2 \equiv 1 \mod 8 \)
- Do đó, \( 3^{2k} \equiv 1 \mod 8\) cho mọi k.

Vì \( 2022 \) là số chẵn, ta có:
\[
3^{2022} \equiv 1 \mod 8 \Rightarrow 3^{2022} - 1 \equiv 0 \mod 8
\]
Do đó, \( \frac{3^{2022} - 1}{2} \equiv 0 \mod 4 \).

### Phần 3: Tính tổng B

Tổng:
\[
B = 1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 + \ldots + 2013 - 2014 - 2015 + 2016 + 2017 -
\]

ta thấy thứ tự của các số có quy luật:
- 1 (+), 2 (-), 3 (-), 4 (+), 5 (+), 6 (-), 7 (-), 8 (+)
- Nhóm 3 số (hai dấu trừ theo sau là hai dấu cộng), từng nhóm là {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Từng nhóm sẽ có tổng là \( 1 + (-2) + (-3) + 4 + 5 = 5 - 5 = 0 \).
Sẽ có 2018 số trong tổng trên nên tóm lại:
Số nhóm = 672, bỏ ra nhóm 1 số trong tổng này. Do vậy B = 2.

Kết luận:
- Giá trị của biểu thức đầu tiên là 15192
- A chia hết cho 4
- B = 2