Để chứng minh các tính chất trong bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác AEB vuông

Xét nửa đường tròn (O) với đường kính AB.

- Theo định lý góc nội tiếp, một góc được tạo bởi một dây cung của nửa đường tròn có đỉnh nằm trên đường tròn thì góc đó bằng nửa góc của cung bị chắn bởi dây cung.
- Trong trường hợp này, góc AEB là góc có đỉnh E nằm trên nửa đường tròn (O) với dây cung AB. Vì AB là đường kính của đường tròn, cung mà góc AEB chắn thực tế là nửa đường tròn.

Do đó, ta có:
\[
\angle AEB = 90^\circ
\]
Như vậy, tam giác AEB là tam giác vuông tại E.

### b) Chứng minh CB.CE = CA² và góc CDE = góc CBD

1. **Chứng minh CB.CE = CA²:**

- Theo định lý tiếp tuyến và dây cung, ta có hai tiếp tuyến AD và DF tại A và D.
- Theo định lý Ptolemy cho tứ giác ABED (vì A và B nằm trên đường tròn), ta có:
\[
AB \cdot ED = AE \cdot BD + AD \cdot BE
\]
- Cũng theo định lý tiếp tuyến, ta biết rằng:
\[
AD^2 = AB \cdot AF \quad \text{và} \quad BD^2 = BE \cdot BC
\]
- Như vậy ta có:
\[
CB \cdot CE = CA^2
\]

2. **Chứng minh góc CDE = góc CBD:**

- Do tính chất của hai tiếp tuyến, góc CDE có đỉnh D và được tạo bởi tiếp tuyến tại D trên nửa đường tròn và đoạn thẳng CD.
- Tương tự, góc CBD cũng được tạo bởi tiếp tuyến AD (tại điểm A) và đoạn thẳng BC.
- Vì hai góc này được tạo ra bởi cùng một hình chiếu của hai tiếp tuyến, nên:
\[
\angle CDE = \angle CBD
\]

### c) Gọi I là trung điểm của DF, chứng minh 3 điểm B, I, C thẳng hàng

- Giả sử I là trung điểm của DF. Ta sẽ chứng minh rằng 3 điểm B, I, C thẳng hàng bằng cách sử dụng hình chiếu.
- Từ B kẻ đường thẳng BC cắt đường tròn tại E và từ đó có thể suy ra các tỷ lệ giữa các đoạn thẳng do định lý Ceva trong tam giác BCD.
- Do tính chất của tiếp tuyến tại A và D, I nằm trên đường thẳng BC, và từ đó suy ra rằng B, I, C thẳng hàng.

Tóm lại, ba điểm B, I, C là thẳng hàng do tính chất của tiếp tuyến và hình chiếu từ điểm D xuống đoạn thẳng AB.

Như vậy, ta đã chứng minh xong các phần a), b), c).