Để giải bài toán này, ta cần phân tích hình và vị trí các điểm trong tam giác và tứ giác.

### a) Tứ giác AIHM là hình gì? Tại sao?

1. **Xác định điểm:**
- H là chân đường cao từ A, và AH là đường cao của tam giác ABC.
- H là điểm thuộc cạnh AB.
- I là điểm trên đường thẳng HI vuông góc với AB.

2. **Phân tích tứ giác AIHM:**
- Các cạnh AH và HI vuông với nhau.
- H nằm trên cạnh AB và M nằm trên cạnh AC (theo mô tả).

3. **Kết luận:**
- Vì H là chân đường cao và các góc tại H là góc vuông, tứ giác AIHM chính là hình **chữ nhật** (hoặc hình vuông nếu AI = AH).

### b) Từ M, kẻ MD // AH; ME ⊥ HC (D ∈ AH; E ∈ HC). Chứng minh: AD = EC = HE = DH.

1. **Giải thích các yếu tố hình học:**
- MD // AH cho thấy M nằm trên cùng một mặt phẳng với đường cao AH.
- ME ⊥ HC cho thấy ME là đường vuông góc với HC, từ đó tạo thành hình chữ nhật.

2. **Chứng minh:**
- Bằng cách sử dụng định nghĩa đường cao và các tính chất của hình chữ nhật (các cạnh đối của hình chữ nhật bằng nhau).
- Từ đó suy ra AD = EC do các đoạn huyền tạo thành đồng dạng trong tam giác vuông và các đường thẳng song song.

### Kết luận:

- Tứ giác AIHM có thể là hình chữ nhật hoặc hình vuông, tùy thuộc vào quan hệ chiều dài của các cạnh.
- Các đoạn AD, EC, HE, DH sẽ bằng nhau do tính chất của các đường vuông góc và các đoạn thẳng tương ứng trong hình chữ nhật.

Nếu cần hỗ trợ thêm về cách vẽ hoặc tính toán, hãy cho mình biết!