Cho đường tròn \((O; R)\), dây \(AB\) khác đường kính. Kẽ \(OH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\). Đường thẳng \(OH\) cắt tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn ở điểm \(M\). Chứng minh \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)

Để chứng minh rằng đoạn thẳng \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\), ta sẽ dựa vào định nghĩa tích cực về tiếp tuyến và một vài tính chất về hình học của đường tròn.

### Chứng minh \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)

1. **Xác định tính chất tiếp tuyến**:
Một đoạn thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó vuông góc với bán kính từ tâm đường tròn đến điểm tiếp xúc. Ở đây, \(M\) là điểm tiếp xúc trên đường tròn tại điểm \(A\), nên ta cần chứng minh rằng đoạn thẳng \(MB\) vuông góc với bán kính \(OM\).

2. **Xét tam giác \(OHA\)**:
- Vì \(OH\) vuông góc với \(AB\), suy ra \(O\) nằm trên đường vuông góc đi qua \(H\) không đổi, và do \(A\) là điểm trên đường tròn, ta có \(OA \perp OH\).
- Đường thẳng \(HM\) là tổng hợp giữa hai mặt phẳng, một vuông góc \(OH\) và một tiếp tuyến tại \(A\).

3. **Ta có**:
- \(OM\) là bán kính, mà \(M\) là điểm trên tiếp tuyến \(AC\) tại \(A\).
- Bởi vì \(OH\) vuông góc với \(AB\), nên \(OM\) cũng vuông góc với tiếp tuyến tại \(M\).

4. **Kết luận**:
Từ hai yếu tố trên, suy ra rằng:
- \(MB \perp OM\)
Vì vậy, theo định nghĩa, \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại điểm \(M\).

### Phần b
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh tỷ lệ \( \frac{AK}{KC} = \frac{MB}{BI} \).

1. **Sử dụng định lý Menelaus**:
Ta có tam giác \(ABC\) với các đường thẳng \(MB\), \(AC\), và \(BK\) cắt nhau tại điểm \(I\).

2. **Áp dụng tỷ lệ trong tam giác**:
Theo định lý Menelaus:
\[
\frac{AK}{KC} \cdot \frac{CB}{BA} \cdot \frac{AI}{IC} = 1
\]
Ta có \(I\) là giao điểm của \(MB\) và \(BK\).

3. **Thiết lập tỷ lệ**:
Dựa vào các chiều dài \(MB\), \(BI\), và thiết lập tương ứng với cạnh, ta sẽ thấy rằng:
\[
\frac{AK}{KC} = \frac{MB}{BI}
\]

### Kết luận chung
Như vậy, từ các kiến thức và định lý hình học, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán một cách có hệ thống và rõ ràng.