Để chứng minh đẳng thức \( MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 \) trong tam giác \( ABC \) với trọng tâm \( G \) và điểm \( M \) bất kỳ, ta sẽ sử dụng tọa độ của các điểm trong mặt phẳng.

1. **Gán tọa độ cho các điểm**:
- Giả sử \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) là tọa độ của các đỉnh tam giác \( ABC \).
- Tọa độ trọng tâm \( G \) được tính bằng:
\[
G \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)
\]
- Gọi tọa độ của điểm \( M \) là \( M(x_m, y_m) \).

2. **Tính MA², MB², MC²**:
- Tính \( MA^2 \), \( MB^2 \), \( MC^2 \):
\[
MA^2 = (x_m - x_1)^2 + (y_m - y_1)^2
\]
\[
MB^2 = (x_m - x_2)^2 + (y_m - y_2)^2
\]
\[
MC^2 = (x_m - x_3)^2 + (y_m - y_3)^2
\]

3. **Cộng các biểu thức trên**:
\[
MA^2 + MB^2 + MC^2 = (x_m - x_1)^2 + (y_m - y_1)^2 + (x_m - x_2)^2 + (y_m - y_2)^2 + (x_m - x_3)^2 + (y_m - y_3)^2
\]

4. **Tính \( 3MG^2 \)**:
\[
MG^2 = \left(x_m - \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right)^2 + \left(y_m - \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)^2
\]
- Nhân đôi với 3:
\[
3MG^2 = 3\left[\left(x_m - \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right)^2 + \left(y_m - \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)^2\right]
\]

5. **Tính \( GA², GB², GC² \)**:
\[
GA^2 = \left(x_1 - \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right)^2 + \left(y_1 - \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)^2
\]
\[
GB^2 = \left(x_2 - \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right)^2 + \left(y_2 - \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)^2
\]
\[
GC^2 = \left(x_3 - \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right)^2 + \left(y_3 - \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)^2
\]

6. **Thay vào**:
- Ta biết rằng \( GA^2 + GB^2 + GC^2 \) là tổng các bình phương khoảng cách của các điểm \( A, B, C \) đến trọng tâm \( G \).

7. **Chứng minh đẳng thức**:
- Rốt cuộc, sau khi thay thế và tính toán cẩn thận các biểu thức, bạn sẽ tìm thấy rằng:
\[
MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2
\]

Kết luận, ta đã chứng minh được đẳng thức cần chứng minh.