Biết f(-1) = 13/4, f(2) = 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = |-f^3(x) + 3f(x)| trên [-1; 2] bằng

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( g(x) = |-f^3(x) + 3f(x)| \) trên đoạn [-1; 2], ta sẽ kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt và các đầu mút của đoạn này.

1. **Tính \( g(-1) \)**:
\[
f(-1) = \frac{13}{4}
\]
\[
g(-1) = \left| -f^3(-1) + 3f(-1) \right| = \left| -\left(\frac{13}{4}\right)^3 + 3 \times \frac{13}{4} \right|
\]

Trước tiên, tính \( \left(\frac{13}{4}\right)^3 \):
\[
\left(\frac{13}{4}\right)^3 = \frac{2197}{64}
\]

Tính \( 3f(-1) \):
\[
3f(-1) = 3 \times \frac{13}{4} = \frac{39}{4} = \frac{624}{64}
\]

Ta có:
\[
g(-1) = \left| -\frac{2197}{64} + \frac{624}{64} \right| = \left| -\frac{1573}{64} \right| = \frac{1573}{64}
\]

2. **Tính \( g(2) \)**:
\[
f(2) = 6
\]
\[
g(2) = \left| -f^3(2) + 3f(2) \right| = \left| -(6)^3 + 3 \times 6 \right|
\]
\[
6^3 = 216, \quad 3 \times 6 = 18
\]
\[
g(2) = \left| -216 + 18 \right| = \left| -198 \right| = 198
\]

3. **Kiểm tra giá trị trong khoảng (chỉ cần kiểm tra điểm \( x = 0 \) vì hàm số \( f(x) \) có đạo hàm, sự thay đổi dấu có thể xảy ra tại điểm này)**:
\( g(0) = |-f^3(0) + 3f(0)| \) — giá trị này có thể tính được nếu có thông tin thêm về \( f(0) \).

Nếu chưa có giá trị \( f(0) \), ta chỉ cần so sánh các giá trị đã tính được.

Cuối cùng, so sánh các giá trị \( g(-1), g(2) \):
\[
g(-1) = \frac{1573}{64} \quad \text{và} \quad g(2) = 198
\]
Tính giá trị \( 198 \) dưới dạng phân số:
\[
198 = \frac{12672}{64}
\]

**Giá trị nhỏ nhất sẽ là**:
\[
\frac{1573}{64} < 198
\]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( g(x) \) trên đoạn \([-1; 2]\) là \( \frac{1573}{64} \).