Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle ABC \cong \triangle ADB \)

**Dữ liệu đã cho:**
- \( AB = 6 \, \text{cm} \)
- \( AC = 4 \, \text{cm} \)
- \( BC = 5 \, \text{cm} \)
- \( CD = CB = 5 \, \text{cm} \)

**Để chứng minh:**

1. Xét \( CD = CB \) (theo giả thiết).
2. Có \( AB = AD \) (vì \( D \) nằm trên tia đối của \( CA \)).
3. Có \( AC = AC \) (cạnh chung).

Sử dụng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC), ta có:
\[
\triangle ABC \cong \triangle ADB
\]

### b) Chứng minh \( \angle ACB = 2 \angle ABC \)

**Dữ liệu:**
- Từ hai tam giác vừa chứng minh là đồng dạng. Ta có \( \angle ACB \) và \( \angle ABC \) tương ứng với nhau.

1. Gọi \( \angle ABC = x \).
2. Theo tính chất của tam giác, ta có:
- \( \angle ACB = 2x \) (vì trong tam giác đồng dạng thì các góc tỉ lệ với nhau).
3. Sử dụng tổng ba góc trong tam giác:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
Gọi \( \angle A = \angle ACB = 2x \) .
\[
2x + x + x = 180^\circ \Rightarrow 4x = 180^\circ \Rightarrow x = 45^\circ
\]
Vậy:
\[
\angle ABC = 45^\circ, \quad \angle ACB = 90^\circ
\]

Kết luận:
- Ta đã chứng minh rằng \( \angle ACB = 2 \angle ABC \).

Xác nhận rằng các bước chứng minh hợp lệ và rõ ràng.