Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chia thành hai phần như đề bài đã đưa ra.

### a/ Chứng minh tứ giác MNKI là hình chữ nhật:

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- M, N là trung điểm của AB và AC.
- I, K là trung điểm của HB và HC.

2. **Chứng minh các cạnh MN và IK vuông góc**:
- Gọi AH là đường cao từ A. Do đó, góc AHB là góc vuông và góc AHC cũng là góc vuông.
- Từ A hạ đường cao AH, vec-tơ AH vuông góc với cả vec-tơ AB và vec-tơ AC.
- Vì M và N là trung điểm, nên AM = MB và AN = NC.

3. **Tính chất cạnh**:
- MN = (MB + AN) / 2.
- IK = (IK + KH) / 2.

4. **Chứng minh các góc**:
- Do MN và IK đều nằm trên các đường cao, nên MN // IK và MN ⊥ AH (AB) trong khi IK ⊥ AH (AC). Vậy MN ⊥ IK.

Nếu MN ⊥ IK và MN // IK thì tứ giác MNKI là hình chữ nhật.

### b/ Gọi E là trung điểm của MK. Chứng minh ba điểm I, E, N thẳng hàng:

1. **Xác định vị trí điểm E**:
- E là trung điểm của MK, do đó chúng ta có:
\[
\vec{E} = \frac{\vec{M} + \vec{K}}{2}.
\]

2. **Chứng minh I, E, N thẳng hàng**:
- Dễ thấy rằng MN là đoạn thẳng đi qua trung điểm M và N.
- Do đó, tiệm cận với đoạn thẳng IN, E nằm ở giữa MK và MN.
- Chúng ta cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng hệ trục tọa độ hoặc tính chất đồng dạng của các tam giác.

Ba điểm I, E, N sẽ thẳng hàng nếu xác định được tỷ lệ mà I đến E và E đến N là đồng nhất.

Hy vọng hướng dẫn trên có thể giúp bạn trong việc chứng minh được hai phần của bài tập. Nếu cần thêm hỗ trợ, bạn có thể nêu rõ vấn đề cụ thể hơn!