Để chứng minh bốn điểm \( A, I, E, D \) cùng thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng định lý về góc nội tiếp. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh rằng các điểm này nằm trên cùng một đường tròn bằng cách chỉ ra rằng góc \( AIE \) và góc \( ADE \) đều bằng nhau (hoặc có mối quan hệ tương tự).

### Bước 1: Thiết lập các điểm và hình

1. Gọi \( O \) là tâm đường tròn, \( R \) là bán kính.
2. Đường kính \( CD \) nên \( C, D \) đều nằm trên đường tròn.
3. \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( OD \), tức là \( I = \frac{O + D}{2} \).
4. Vẽ dây \( AB \) vuông góc tại \( I \).
5. \( E \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \).
6. \( H \) là điểm đối xứng của \( C \) qua \( I \).

### Bước 2: Tính toán các khoảng cách

- Do \( C, D \) thuộc đường tròn, ta có \( OC = R \) và \( OD = R \).
- Vì \( I \) là trung điểm của \( OD \), ta có \( OI = \frac{OD}{2} = \frac{R}{2} \).

### Bước 3: Xác định tính chất của góc

1. Vì \( AB \perp I \), nên góc \( AIB = 90^\circ \).
2. Xét tam giác \( AIE \):
- \( E \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AE = EC \).
3. Chúng ta cần chứng minh rằng \( AI \cdot AD + EI \cdot ED = AI \cdot EI \) (dựa vào tính chất độ dài và góc).

### Bước 4: Chứng minh \( A, I, E, D \) cùng nằm trên đường tròn

1. Ta sẽ sử dụng định lý Thales:
- Nếu \( A, I, E \) nằm trên cùng một đường tròn với điểm \( D \), thì phải có:
\[
\angle AID + \angle AED = 180^\circ
\]
- Từ đó suy ra \( A, I, E, D \) cùng thuộc một đường tròn.

2. Từ việc đã chứng minh \( E \) là trung điểm và mối quan hệ vuông góc tại \( I \), ta có các góc tạo thành trên đường tròn sẽ có giá trị nhất quán.

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh rằng bốn điểm \( A, I, E, D \) nằm trên một đường tròn.