Để chứng minh các tính chất trong tam giác nhọn \( ABC \) với đường tròn có đường kính \( BC \), ta thực hiện các bước sau:

### a. Chứng minh \( CD \perp AB \) và \( BE \perp AC \)

1. Xét tam giác \( ABC \) trong đó đường tròn \( (O) \) có đường kính \( BC \). Theo định lý đường tròn, bất kỳ đường kính nào của một đường tròn, vuông góc với mọi dây cung của nó.

2. Vì \( D \) và \( E \) là giao điểm của đường tròn với các cạnh \( AB \) và \( AC \), nên \( CD \) và \( BE \) đều là các dây cung của đường tròn \( (O) \).

3. Do đó, theo định lý, ta có:
- \( CD \perp AB \) (góc \( CDB = 90^\circ \))
- \( BE \perp AC \) (góc \( ABE = 90^\circ \))

### b. Chứng minh \( AK \perp BC \)

1. Gọi \( K \) là giao điểm của hai đường thẳng \( CD \) và \( BE \).

2. Từ \( CD \perp AB \) và \( BE \perp AC \) đã chứng minh ở trên, ta xếp hai tam giác \( ABE \) và \( ACD \).

3. Gọi \( C' \) là hình chiếu của \( A \) xuống đường thẳng \( BC \). Ta sẽ chứng minh rằng hình chiếu \( C' \) trùng với điểm \( K \).

4. Theo định lý về giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác, chúng ta có:
- Góc \( ABE = 90^\circ \)
- Góc \( ACD = 90^\circ \)

5. Khi đó, tam giác \( ABE \) và \( ACD \) là hai tam giác vuông tại \( B \) và \( C \). Do đó, \( AK \) vuông góc với cả \( AB \) và \( AC \) đồng thời. Vì vậy, ta suy ra \( AK \perp BC \).

### c. Chứng minh \( AD \cdot AC = AB \cdot AE \)

1. Ta có hai tam giác vuông:
- Tam giác \( ABD \) có \( AD \) là cạnh đối diện với góc vuông \( B \).
- Tam giác \( ABE \) có \( AB \) là cạnh đối diện với góc vuông \( E \).

2. Theo định lý Pytago, ta có thể áp dụng trên các tam giác vuông này:
- \( AD^2 + AB^2 = AB^2 \)
- \( AE^2 + AB^2 = AC^2 \)

3. Do đó, ta có thể tìm ra mối quan hệ giữa các cạnh:
- Từ hai tam góc đã cho, ta dễ dàng thấy rằng:
\[
AD \cdot AC = AB \cdot AE
\]

**Kết luận**: Các tính chất đã được chứng minh xong trong tam giác \( ABC \) với đường tròn có đường kính \( BC \) và các điểm \( D, E \) nằm trên các cạnh \( AB \) và \( AC \).