Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 + 4y^2 - 4x + 32y + 2090 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

**Bước 1: Hoàn thành bình phương đối với \( x \)**

Biểu thức trong phần \( x \) là \( x^2 - 4x \). Ta có thể viết lại như sau:

\[
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
\]

**Bước 2: Hoàn thành bình phương đối với \( y \)**

Biểu thức trong phần \( y \) là \( 4y^2 + 32y \). Ta có thể tách ra và hoàn thành bình phương:

\[
4y^2 + 32y = 4(y^2 + 8y) = 4((y + 4)^2 - 16) = 4(y + 4)^2 - 64
\]

**Bước 3: Thay vào biểu thức A**

Bây giờ, chúng ta thay các kết quả vừa tìm được vào biểu thức \( A \):

\[
A = ( (x - 2)^2 - 4 ) + ( 4(y + 4)^2 - 64 ) + 2090
\]

Đơn giản hóa \( A \):

\[
A = (x - 2)^2 + 4(y + 4)^2 - 4 - 64 + 2090
\]
\[
A = (x - 2)^2 + 4(y + 4)^2 + 2022
\]

**Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A**

Giá trị của \( A \) đạt được giá trị nhỏ nhất khi các bình phương bằng 0:

- \((x - 2)^2 = 0\) hay \(x = 2\)
- \(4(y + 4)^2 = 0\) hay \(y + 4 = 0\) tức là \(y = -4\)

Thay \( x = 2 \) và \( y = -4 \) vào biểu thức:

\[
A = 0 + 0 + 2022 = 2022
\]

**Kết luận:** Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( \boxed{2022} \).